Enunciado

Mostre que o centro de massa de um disco semicircular de raio R está sobre um ponto a 4 R / 3 π do centro do círculo.

Passo 1

Falaa! Ele quer que a gente localize o centro de massa de um disco semicircular. Nesse caso vamos precisar usar o cálculo integral porque queremos fazer uma demonstração.

Como estamos lidando com um disco semicircular, é uma boa ideia usar coordenadas polares. Ao usar essas coordenadas, precisamos pensar que nossas variáveis nele são r (tamanho de um segmento que sai da origem) e θ (orientação desse segmento).

E que elas se relacionam com x e y assim:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Vamos esboçar nosso disco e nosso referencial:

Com a origem localizada no centro do disco, o sistema fica simétrico em torno do eixo y , por isso uma das coordenadas do centro de massa é:

x C M = 0

E fica faltando determinar a outra. Ou seja, vamos usar integrais para achar y c m .

Passo 2

A expressão para achar o centro de massa de objetos delgados (barras e arcos) é essa

M r → C M = ∫ r →   d m

Mas como temos uma superfície plana (um disco), essa integral vai ser dupla:

M r → C M = ∬ r →   d m

Onde r → C M = x C M i ^ + y C M j ^ e r → = x   i ^ + y j ^ . Só que como já sabemos x C M , só precisamos calcular essa expressão para a componente j ^ . Ou seja, queremos:

M y C M = ∬ y   d m

y C M = 1 M ∬ y   d m

A ideia é montar essa integral.

Vamos considerar uma pequena área do disco, que a gente chama de elemento infinitesimal de área. Em coordenadas polares, a área de um elemento infinitesimal tem essa expressão:

d A = r   d r d θ

Só que queremos a massa d m desse elemento. Vamos escrever essa bonita considerando que o disco tem densidade supercial uniforme σ . A gente escreve densidade superficial dividindo massa por área. Então para o nossos elemento infinitesimal vamos ter

σ = d m d A

Isolando o que a gente quer:

d m = σ d A

E sabendo que d A = r   d r d θ :

d m = σ   r   d r d θ

Substituindo isso na nossa expressão de y C M e lembrando que y = r   s e n   θ :

y C M = 1 M ∬ y   d m

y C M = ∬ r sen ⁡ θ   σ r   d r d θ M

Passo 3

Temos:

y C M = 1 M   ∬ r sen ⁡ θ   σ r   d r   d θ

y C M = σ M   ∬ r 2 sen ⁡ θ d r   d θ

Precisamos dos intervalos de r e θ onde temos o nosso disco:

r é o tamanho do segmento que sai da origem. Então ele começa em r = 0 (a própria origem). E o valor máximo dele é o próprio raio do disco R . Assim:

0 ≤ r ≤ R

θ é o ângulo que r faz com x . Como temos apenas a parte de cima do círculo, vamos ter:

0 ≤ θ ≤ π

Posicionando esses extremos de acordo com cada variável:

y C M = σ M   ∬ r 2 sen ⁡ θ d r   d θ

y C M = σ M   ∫ 0 π ∫ 0 R r 2 sen ⁡ θ   d r d θ

Percebe que a integral de fora está em relação a θ , aí ela vai ter nos extremos o intervalo de θ . E a integral de dentro fica com os extremos de r .

Passo 4

Agora é calcular.

y C M = σ M   ∫ 0 π ∫ 0 R r 2 sen ⁡ θ   d r d θ

Primeiro a integral de dentro. A gente pode tirar de dentro dela tudo que está em produto com uma função de r e não é uma função de r (é constante em relação a r ):

y C M = σ M   ∫ 0 π s e n   θ ∫ 0 R r 2   d r d θ

A integral indefinida de r 2 é r 3 / 3 , então:

y C M = σ M   ∫ 0 π s e n   θ r 3 3 0 R d θ

y C M = σ M   ∫ 0 π s e n   θ R 3 3 d θ

E podemos tirar dessa integral tudo que está em produto com a função de θ e não é função de θ :

y C M = σ M R 3 3 ∫ 0 π s e n   θ d θ

E a integral indefinida do sen ⁡ θ é - cos ⁡ θ , substituindo os limites de integração ficamos com:

y C M = σ M R 3 3 - cos ⁡ θ 0 π

y C M = σ M R 3 3 - cos ⁡ π + cos ⁡ 0

y C M = σ M R 3 3 - - 1 + 1

y C M = σ M 2 R 3 3

Passo 5

Agora vamos montar uma expressão para σ . Essa é a densidade superficial do disco. A densidade superficial é dada pela razão entre massa e área do objeto:

σ = M A

E a área do semicírculo é metade da área do círculo:

A = π R 2 2

Então:

σ = 2 M π R 2

Substituindo no resultado de antes:

y C M = 1 M 2 M π R 2 2 R 3 3

y C M = 4 R 3 π

E essa é a distância do centro de massa até a origem.

Resposta

Demonstração.

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