A figura 21-46 mostra um haltere que consiste em duas partículas pequenas idênticas, cada uma com massa m , presas à extremidades de um bastão fino (sem massa) de comprimento a que pode girar em torno de um ponto que passa pelo seu centro. As partículas têm cargas + q e - q , e o haltere está localizado em um campo elétrico uniforme E → . Mostre que, para pequenos valores do ângulo θ entre a direção do dipolo e a direção do campo elétrico o sistema começa a mover-se em movimento harmônico simples e obtenha uma expressão para o período de tal movimento.

Passo 1

Veja a figura abaixo, onde θ é um ângulo pequeno.

Vamos calcular o torque em torno do centro de massa do sistema.

τ = q E a 2 sen ⁡ θ + q E a 2 sen ⁡ θ = q E a sen ⁡ θ

Notemos que esse torque tende a trazer o dipolo de volta para a posição onde θ = 0 . Sendo assim, podemos colocar o sinal negativo no torque:

τ = - q E   a sen ⁡ θ

Mas, sendo θ um ângulo pequeno, temos que sen ⁡ θ = θ . Além disso, τ = I α , sendo I o momento de inércia, e α = θ ¨ . Logo,

I θ ¨ = - q E a   θ ⟹ θ ¨ + q E a I θ = 0

Agora, vamos calcular I :

I = m a 2 2 + m a 2 2 = m a 2 2

Portanto,

θ ¨ + 2 q E m a θ = 0

Passo 2

Identificamos a equação acima como sendo a equação característica de um MHS:

θ ¨ + ω 2 θ = 0

assim,

ω 2 = 2 q E m a ⟹ ω = 2 q E m a

Passo 3

Agora, ficou fácil calcular o período:

T = 2 π ω = 2 π m a 2 q E

Resposta

O período vale 2 π m a / 2 q E .

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