Na figura, a água doce atrás de uma represa tem uma profundidade D = 15 m . Um cano horizontal de 4,0   c m de diâmetro atravessa a represa a uma profundidade d = 6,0   m . Uma tampa fecha a abertura do cano. (a) Determine o módulo da força de atrito entre a tampa e a parede do tubo. (b) A tampa é retirada. Qual é o volume de água que sai do cano em 3,0   h ?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, nesse exercício aqui, na letra (a) queremos encontrar o módulo da força de atrito entre a tampa e a parede do tubo, que é basicamente a força que segura a tampa onde ela está.

Como o sistema está em equilíbrio, a força que segura a tampa é a mesma que a força com que a água empurra a tampa! Ou seja, é só a gente calcular a força que a água da represa exerce ali.

Então vamos lá, onde aparece a força nas nossas fórmulas de fluidos? Ah sim, na definição da pressão:

P = F A

F = P A

Então já temos aí a equação que precisamos completar para achar o módulo da força.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de A , usando o diâmetro D = 4,0   c m = 0,04   m do cano, que o enunciado dá:

A = π R 2

A = π D 2 2

Logo:

A = π 0,04 2 2

A = 0,02 2 π

A = 1,26 × 10 - 3   m 2

Agora fica faltando só a pressão naquela profundidade. Essa também é uma fórmula que conhecemos bem:

P = ρ g h

Onde h é a profundidade e ρ é a densidade da água ( 10 3   kg/ m 3 ).

P = 10 3 9,8 6,0 = 5,9 × 10 4   Pa

E a força vai ser:

F = P . A

F = 5,9 × 10 4 1,26 × 10 - 3

F = 74   N

E essa vai ser a resposta da letra (a).

Obs.: Não incluímos a pressão atmosférica nessa conta, porque ao mesmo tempo em que ela ajuda a água a empurrar a tampa, ela também ajuda a tampa a empurrar a água. Se a tampa estivesse totalmente submersa (sem contato com a atmosfera), teríamos que incluir a pressão atmosférica na conta da pressão!

Passo 3

A letra (b) pede o volume de água que sai quando retiramos a tampa em um intervalo de 3   h . Vamos primeiro converter esse intervalo para segundos:

Δ t = 3   .   60 .   60

∆ t = 10800   s

E o volume de água que sai nesse intervalo vai ser simplesmente o produto entre a vazão:

R V = v . A

E esse intervalo de tempo. Então:

V o l = v . A . Δ t

Onde v é a velocidade da água no cano, e A é a área da seção reta do cano. Nesse caso, já calculamos A = 1,26 × 10 - 3   m 2 e Δ t = 10800   s , mas falta descobrir a velocidade.

Sabemos que nesses casos a velocidade que escoa por um cano submerso em uma profundidade d em um recipiente é:

v = 2 g d

v = 2 9,8 6,0

v = 10,84   m/s

Substituindo na equação acima:

V o l = 1,26 × 10 - 3 10800 10,84

V o l = 1,5 × 10 2   m 3

Resposta

(a) F = 74   N

(b) V o l = 1,5 × 10 2   m 3

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