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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 29.Exercícios e Problemas - Ex. 70

A FIGURA P29.69 mostra um bastão fino de comprimento L dotado de uma carga Q. Obtenha uma expressão para o potencial elétrico criado pelo bastão a uma distância z do centro do mesmo sobre a linha de bissecção.

Passo 1

Falaaa galera

Vamos usar essa equação para calcular o potencial elétrico

V = 1 4 π ε 0 q r

Como a distância do ponto em z até um ponto no bastão é

r 2 = x 2 + z 2

r = x 2 + z 2

Podemos substituir

V = 1 4 π ε 0 q x 2 + z 2

Passo 2

A densidade de carga linear é

λ = Q L

Sendo

q = λ x '

Juntando as duas equações, temos

q = Q L x '

Vamos colocar essa informação no potencial elétrico

V = Q 4 π ε 0 L x ' x 2 + z 2

Passo 3

Até o momento, estamos considerando apenas um único ponto na reta x. Entretanto, o bastão é a soma do potencial elétrico desses pontos. Vamos integrar para encontrar o potencial elétrico total.

A integral irá se restringir a região do bastão, ou seja, de - L / 2 até L / 2

V = Q 4 π ε 0 L   ∫ - L / 2 L / 2   d x x 2 + z 2

Vamos integrar esse termo

V = Q 4 π ε 0 L   l n x 2 + z 2 + x - L / 2 L / 2

Podemos usar a seguinte propriedade

l n a - l n b = l n a b

V = Q 4 π ε 0 L   l n L / 2 2 + z 2 + L / 2 L / 2 2 + z 2 - L / 2

Resposta

V = Q 4 π ε 0 L   l n L / 2 2 + z 2 + L / 2 L / 2 2 + z 2 - L / 2

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