Na Figura, uma prancha homogênea, com comprimento L de 6,10   m e peso de 445   N , repousa apoiada no chão e em um rolamento sem atrito no alto de uma parede de altura h   =   3,05   m . A prancha permanece em equilíbrio para qualquer valor de θ   ≥   70 º , mas escorrega se θ   <   70 º . Determine o coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão.

Passo 1

Falaaa galera, bora resolver mais uma questão de escorregamento?

Começando representando o diagrama de corpo livre da prancha, que vai ser muito importante pra gente encontrar o nosso coeficiente de atrito estático:

E daqui a gente pode definir as 3 equações de equilíbrio, pra gente fazer um sisteminha e encontrar a fat e a força normal, e com elas tiramos o valor do coeficiente de atrito, ok?

Passo 2

Antes é bom lembrar que F precisa ser decomposta em duas direções, pra ajudar a gente enxergar eu fiz esse desenho:

Daí a gente vê que:

F x = F s e n ( θ )

E

F y = F c o s ( θ )

Logo as duas equações de equilíbrio de forças serão:

∑ F x = F s e n θ - f a t = 0   ( 1 )

∑ F y = F c o s θ - P + F N = 0   ( 2 )

Para o somatório dos torques, vamos escolher o ponto onde estão agindo a força normal e a força de atrito, visando eliminar essas incógnitas. Aqui a gente só tem que se ligar que a força P não está perpendicular a barra, a gente pode analisar a decomposição fazendo um desenho:

Aí fica mais fácil de ver que:

P y = P c o s ( θ )

∑ τ = P c o s θ × L 2 - F × x = 0   ( 3 )

Onde x é a distância em que F é aplicada.

Passo 3

Beleza, agora mãos á obra pra encontrarmos quem a gente precisa, vamos começar encontrando o valor de F, com a equação 3:

F × x = P c o s θ × L 2

Mas como a gente calcula esse x? É mais de boa do que parece, da barra a gente pode tirar um triângulo, com h e d mostrados na figura.

Daí, de boas:

x = h sen ⁡ θ

E substituindo:

x = 3,05 sen ⁡ 70 ° = 3,2 5 m

Rearrumando lá em cima:

F = P c o s θ × L 2 x

E substituindo temos:

F = 445 × cos ⁡ 70 × 6,1 2 × 3,25 = 142,83 N

Passo 4

Bom, já eliminamos uma incógnita vamos seguir assim pra equação 2, e aí encontraremos a força normal.

F c o s θ - P + F N = 0  

Isolando a força normal a gente tem:

F N = P - F c o s ( θ )  

Substituindo:

F N = 445 - 142,83 cos ⁡ 70 ° = 396,145 N

E por último, podemos partir pra equação 1, e encontrar a fat:

∑ F x = F s e n θ - f a t = 0   ( 1 )

Substituindo:

142,83 s e n 70 ° = f a t

f a t = 134,216 N

E por fim, a gente pode lembrar que:

f a t = μ F N

Logo:

μ = f a t F N = 134,216 396,145 ≅ 0,34

Resposta

μ ≅ 0,34

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