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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 95

Um foguete tem uma massa inicial de 30000 k g , 80 por cento da qual é combustível. Ele queima combustível a uma taxa de 200 k g / s e expele os gases com uma rapidez relativa de 1,80 k m / s . Determine (a) o impulso do foguete, (b) o tempo para a queima total do combustível e (c) a rapidez do foguete quando todo o combustível terminou de ser queimado, supondo que ele se move diretamente para cima, próximo à superfície da Terra. Suponha g constante e despreze a resistência do ar.

Passo 1

a) Faaalaaa, querido! Tudo bem?

Então, antes de começar, eu preciso te dizer que essa questão tem um errinho no enunciado. Onde ele pede o impulso na real ele quer o módulo da força de empuxo do foguete, ok?

Essa força tem essa fórmulinha:

F = d m d t u e x a u s t ã o

Onde u e x a u s t ã o é rapidez de exaustão relativa ao foguete que é o mesmo que a rapidez relativa com que os gases são expelidos, então vale u e x a u s t ã o = 1,80   k m / s = 1,8 × 10 3   m / s .

E d m / d t é a taxa de queima do combustível, que o enunciado diz que vale 200   k g / s .

Substituindo essas duas coisas na fórmulinha:

F = 200 × 1,8 × 10 3

F = 360 × 10 3   N

F = 360 K N

Passo 2

b) Então, o tempo de queima é o tempo que o foguete leva para perder toda a massa de combustível que ele tem.

A massa de combustível é 80 % da massa total do foguete que vale 30000 k g . Então temos

m c o m b u s í v e l = 0,8 × 30000 k g

Se a gente multiplica a taxa de queima do combustível pelo tempo de queima, a gente acha a massa de combustível, porque a taxa é a quantidade de massa que a gente perde por tempo decorrido. Então temos:

m c o m b u s t í v e l = t q u e i m a d m d t

Isolando t q u e i m a :

t q u e i m a = m c o m b u s t i v e l d m d t

Substituindo o valor de massa de combustível m c o m b u s t i v e l e o valor da taxa de queima de combustível d m d t = 200   k g / s :

t q u e i m a = 0.8 × 30000 k g 200 k g s = 120 s

Passo 3

c) A gente também tem uma fórmulinha para a rapidez do foguete. É essa

v y = u e x ln ⁡ M 0 M 0 - R t - g t

A rapidez que a gente quer é quando todo o combustível foi queimado, então queremos t = t q u e i m a = 120   s (o que achamos no item anterior):

v f = u e x ln ⁡ M 0 M 0 - R t q u e i m a - g t q u e i m a

Onde:

- M 0 é a massa inicial do foguete e vale 30000 k g

- R é outra notação para a taxa de queima que vale 200   k g / s

- g é a gravidade que ele diz para considerar constante, então g = 9,8   m / s 2

- u e x é a é rapidez de exaustão relativa ao foguete que vale 1,8 × 10 3   m / s

Substituindo essas coisas:

v f = 1,8 × 10 3 ln ⁡ 30000 30000 - 200 120 - 9,8 120

v f = 1720   m / s

v f = 1 , 72   k m / s

Resposta

  1. F = 360 K N
  2. 120 s
  3. 1.72 k m s
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