A força F x = 10   N sin ⁡ 2 π t 4,0 s é exercida durante o intervalo 0 ≤ t ≤ 2,0   s sobre uma partícula de 250 g. Se a partícula parte do repouso, qual sua velocidade em t = 2,0 s?

Passo 1

Foi nos dado a força em função do tempo e nos é pedido para calcular o valor da velocidade em um determinado instante. Assim, o melhor a se fazer é usar o teorema do impulso:

I = Δ p

onde I é o impulso e Δ p é a variação da quantidade de movimento:

Δ p = m v f - m v i

Passo 2

Para calcularmos o impulso I , partiremos para a definição:

I = ∫ t i t f F   d t = ∫ 0 2 10 sin ⁡ 2 π t 4   d t = 10 ∫ 0 2 sin ⁡ π t 2   d t

Para calcularmos a integral acima, faremos a substituição

u = π t 2 ⟹ d t = 2 π   d u t = 0 ⟹ u = 0 t = 2 ⟹ u = π ∴ ∫ 0 2 sin ⁡ π t 2 d t = ∫ 0 π sin ⁡ u 2 π   d u = 2 π ∫ 0 π sin ⁡ u   d u

Agora, lembre-se da primitiva:

∫ sin ⁡ x   d x = - cos ⁡ x + c o n s t a n t e

Dessa forma, temos

I = 10 ⋅ 2 π - cos ⁡ u 0 π = 20 π - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = 40 π   N ⋅ s

Passo 3

Com o valor do impulso calculado, podemos aplicar o teorema do impulso (lembre-se que 250 g equivalem a 0,250 kg)

40 π = 0,250   k g v f - 0,250   k g ⋅ 0 ⏟ a   p a r t í c u l a   p a r t e   d o   r e p o u s o

40 π = 0,250 v f ⟹ v f = 51   m / s

Resposta

A velocidade final será de 51 m/s.

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