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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 19.5 - Ex. 28

Para que frequência o comprimento de onda do som no ar é igual ao livre caminho médio das moléculas de oxigênio a uma pressão de 1,0   a t m e 0,00   ° C ? Tome o diâmetro de uma molécula de oxigênio como 3,0.10 - 8   c m .

Passo 1

Bom, a expressão do livre caminho médio é essa aqui:

λ = 1 2 π d 2 N / V

Onde   N / V   é o número de moléculas por unidade de volume, e d é o diâmetro das moléculas.

O que nós queremos saber é qual a frequência de uma onda sonora (no ar) que faz ela ter um comprimento de onda igual a essa fórmula aí de cima (aplicada à moléculas de oxigênio).

A frequência da onda sonora vai seguir essa fórmula aqui:

f = v λ

Ou seja:

f = v 1 2 π d 2 N / V = 2 π d 2 N / V v

Passo 2

Vamos ver se temos todos os valores.

A velocidade do som no ar é:

v = 343   m / s

O diâmetro d das moléculas de oxigênio é:

d = 3,0   .   10 - 8   c m = 3,0   .   10 - 10   m

Fica faltando achar o valor de ( N / V ) .

Passo 3

Bom, o N é o número de moléculas na amostra certo, que é a mesma coisa que o número de mols multiplicado pelo número de Avogadro:

N = n N A

Então:

N V = n N a V

Mas agora a gente pode usar a lei dos gases ideais pra achar esse quociente n / V !

p V = n R T

n V = p R T

Então:

N V = N A p R T

Maravilha, o enunciado já deu a temperatura e a pressão, então agora é só converter as unidades e já vamos poder substituir na fórmula:

p = 1,0   a t m = 1,01   .   10 5   P a

T = 0,00 ° C = 273   K

Passo 4

Então a nossa fórmula ficou assim:

f = 2 π d 2 N / V v

f = 2 π d 2 N A p R T v

E já temos todos os valores:

f = 2 π 3,0.10 - 10 2 ( 6,02.10 23 ) ( 1,01.10 5 ) 8,31 273 ( 343 )

f = 3675832339   H z

Ou seja:

f = 3,7   .   10 9   H z

Resolvido!

Resposta

f = 3,7   .   10 9   H z .

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