Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 52
A função de onda para uma determinada onda estacionária em uma corda que é fixada nas duas extremidades é dada por Uma onda estacionária pode ser considerada como a superposição de duas ondas que estão se deslocando. (a) Qual é a velocidade e a amplitude das duas ondas que resultam na onda estacionária especificada? (b) Qual é a distância entre nós sucessivos na cadeia? (c) Qual é o menor comprimento possível da corda?
Passo 1
a) Olá! Não se assuste com essa função feia não. O que ele quer dizer é que uma onda pode ser interpretada como uma soma de duas ondas. A forma mais simples de fazer essa superposição é somar duas ondas com mesma frequência e velocidade.
Aí a onda resultante permanece com a mesma frequência e velocidade das suas componentes, mas a sua amplitude é a soma das amplitudes das duas ondas que a formam, tudo bem?
Então quando ele pede a velocidade das duas ondas que podem formar a onda do enunciado, ele quer na real a velocidade dessa onda mesmo.
Bom, a velocidade da letra (a) pode ser determinada pela seguinte equação:
Ele nos deu uma equação da onda nessa forma geral
então o e o são obtidos diretamente da equação dada no enunciado, o é o termo que multiplica o dentro do seno e o é que multiplica o dentro do cosseno:
Substituindo na primeira equação:
Passo 2
Pela equação dada no enunciado, nós sabemos o valor da amplitude da onda estacionária ,
que na verdade é a superposição de ondas. Então para achar a amplitude de cada onda que forma a nossa onda do enunciado, podemos ir pelo caminho mais simples, e dizer que cada onda dessa tem a mesma amplitude .
Como a soma delas forma a onda do enunciado, então a soma das amplitudes de cada onda deve dar , assim podemos escrever que
A amplitude das duas ondas então é:
Passo 3
(b) Vamos lembrar que a distância entre dois nós é meio comprimento de onda, vamos escrever então da seguinte maneira:
Mas temos uma fórmulinha para em termos da velocidade e da frequência:
Substituindo na nossa relação acima
Mas a gente não tem , né? Só temos , então precisamos usar a expressão que relaciona as duas
E então escrevendo a frequência na nossa expressão de em termos de w:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
c) No caso da letra (c), sabemos que há uma onda estacionária na corda e a distância entre dois nós é 1.26m. A condição para existir uma onda estacionaria numa corda pressa nas duas extremidades é
Sendo que é o número de harmônicos. O mínimo para é , então o comprimento mínimo da corda é
Isso quer dizer que o comprimento mínimo da corda deve ser metade do comprimento de onda. E quem é metade do comprimento de onda? A distância entre nós!
Então o menor valor do comprimento da corda será o mesmo da distância entre dois nós: