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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 71

A função de onda para uma onda estacionária em uma corda é descrita por y x , t = 0,020 sin ⁡ ( 4 π x ) cos ⁡ ( 60 π t ) , onde y e x estão em metros e t está em segundos. Determine o deslocamento máximo e a velocidade máxima de um ponto da corda em (a) x = 0,10   m , (b) x = 0,25   m , (c) x = 0,30   m e (d) x = 0,50   m .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para determinar o deslocamento máximo e a velocidade máxima dos respectivos pontos da corda, devemos encontrar a equação da posição máxima e da velocidade máxima:

Do enunciado, sabemos que:

y x , t = 0,020 sin ⁡ ( 4 π x ) cos ⁡ ( 60 π t )

Para que o deslocamento seja máximo o argumento cos ⁡ ( 60 π t ) = 1 , portanto:

y m á x ( x ) = 0,020 sin ⁡ ( 4 π x )

A velocidade, por definição é:

v y = d d t 0,020 sin ⁡ 4 π x cos ⁡ 60 π t

v y = - 0,020 60 π sin ⁡ 4 π x sin ⁡ 60 π t

v y = - 1,2 π sin ⁡ 4 π x sin ⁡ 60 π t

A velocidade máxima é dada por:

v y , m á x   ( x ) = 1,2 π sin ⁡ 4 π x

Agora que temos as equações, é só substituir os valores para cada situação solicitada. No item (a), temos que x = 0,10   m , logo:

y m á x ( 0,10   m ) = 0,020 sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 1 ) ]

y m á x 0,10   m = 1,9   c m

v y , m á x   ( 0,10   m ) = 1,2 π sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 1 ) ]

v y , m á x   0,10   m = 3,6 m / s

Passo 2

No item (b), temos que x = 0,25   m , logo:

y m á x ( 0 , 25   m ) = 0,020 sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 25 ) ]

y m á x 0 , 25   m = 0

v y , m á x   ( 0 , 25   m ) = 1,2 π sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 25 ) ]

v y , m á x   0 , 25   m = 0

Passo 3

No item (c), temos que x = 0,30   m , logo:

y m á x ( 0 , 30   m ) = 0,020 sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 30 ) ]

y m á x 0 , 30   m = - 1,2   c m

v y , m á x   ( 0 , 30   m ) = 1,2 π sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 30 ) ]

v y , m á x   0 , 30   m = 2,2   m / s

Passo 4

No item (d), temos que x = 0,5 0   m , logo:

y m á x ( 0 , 5 0   m ) = 0,020 sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 5 0 ) ]

y m á x 0 , 5 0   m = 0

v y , m á x   ( 0 , 5 0   m ) = 1,2 π sin ⁡ [ 4 π ( 0 , 5 0 ) ]

v y , m á x   0 , 5 0   m = 0

Resposta

a )   y m á x 0,10   m = 1,9   c m

v y , m á x   0,10   m = 3,6 m / s

b )   y m á x 0,25   m = 0

v y , m á x   0,25   m = 0

c )   y m á x 0,30   m = - 1,2   c m

v y , m á x   0,30   m = 2,2   m / s

d ) y m á x 0,50   m = 0

v y , m á x   0,50   m = 0

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