Enunciado
Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 18
Uma gotícula de água começa a formar-se e vai-se avolumando na atmosfera em torno de um núcleo de condensação, que é uma partícula de poeira, de raio desprezível. A gota cai através da atmosfera, que supomos saturada de vapor de água, e vai aumentando de volume continuamente pela condensação, que faz crescer a massa proporcionalmente à superfície da gota. A taxa de crescimento da massa por unidade de tempo e de superfície da gota é constante. a) Mostre que o raio da gota cresce linearmente com o tempo. b) Mostre que a aceleração da gota, decorrido um tempo desde o instante em que ela começou a se formar é dada por
Onde v é a velocidade da gota no instante t ( desprezando o efeito da resistência do ar. c) Mostre que esta equação pode ser resolvida tomando , e determine a constante a. Que tipo de movimento resulta para a gota?
Passo 1
- Pra começar um problema assim vamos tentar chegar numa relação da massa com
- O momento da gota desde o ínicio de sua formação é dado por
- Se
área que envolva também
Derivando os 2 lados usando a regra da cadeia,
Galera, aqui é interessante reconhecer que é a área da superfície da gota, logo
Derivando em relação à área
Como dito pelo enunciado a taxa de variação de massa por unidade de tempo por unidade de área é constante e igual a , por isso
Show, a taxa de variação do raio com o tempo é constante, logo sua função é linear no tempo!
Passo 2
Portanto a força resultante é
Pela regra do produto temos
Já que a força resultante á força gravitacional fica assim nossa equação
Escrevendo a massa em função da densidade e volume chegamos a
Sabemos que varia linearmente com o tempo de acordo com essa expressão, já que é linear
Substituindo na equação temos
Passo 3
Pelo fato da aceleração ser constante o movimento é uniformemente acelerado.