23. Um grande aquário de 5,00   m de altura está cheio de água doce até uma altura de 2,00   m . Uma das paredes do aquário é feita de plástico e tem 8,00   m de largura. De quanto aumenta a força exercida sobre esta parede se a altura da água é aumentada para 4,00   m ?

Passo 1

Sabemos que força tem tudo haver com pressão, já que...

p = F A

No nosso caso, a área, é a área da parede do aquário, e a pressão também é a pressão da água na mesma parede. Seria muito simples se a pressão fosse constante, não é? Bastaria você multiplicar a área pela pressão e você teria a força na parede:

F = p ⋅ A

Acontece que isso não é bem uma verdade. A pressão varia com a altura da coluna de água:

p h = p 0 + ρ g h

De modo que a pressão no fundo é maior que a pressão na superfície da água. Então como vai ficar o calculo da força?

Já que a pressão varia com a altura, podemos resolver por uma integral...

F = ∫     p h d A

Como d A pode ser dado por l d h (onde l é o comprimento e d h o diferencial de altura)...

F = ∫     p h l d h →

F = l ∫     p h d h

Beleza, agora bora para aplicação!

Passo 2

Queremos calcular na verdade nem a força na parede, mas sim a diferença de força entre a parede com 2 m de coluna de água e da parede com 4 m de coluna de água. Sendo assim, apenas a pressão da coluna de água é importante de modo que podemos desconsiderar a pressão atmosférica p 0 :

p h = ρ g h

Onde ρ é a densidade da água, g a gravidade e h então é a altura da água.

Vamos calcular então a força aplicada pela água nos dois casos: caso da coluna de água 2 m ; caso onde a água vai até 4 m ; depois basta subtrais as duas forças, saca?

  1. Força na parede com água até 2 m :
  2. F = l ∫ 0 2 p h d h     →

    F = l ∫ 0 2 ρ g h d h     →

    F = l ρ g h 2 2 0 2 =

    l ρ g 2 2 2 =

    2 l ρ g

  3. Força na parede com água até 4 m :

F 2 = l ∫ 0 4 p h d h     →

F 2 = l ∫ 0 4 ρ g h d h     →

F 2 = l ρ g h 2 2 0 4 =

l ρ g 4 2 2 =

8 l ρ g

Passo 3

Com as duas forças calculadas, podemos subtrair uma pela outra a fim de encontrar a diferença da força aplicada:

F 2 - F =

6 l ρ g

Então substituindo l por 8 m , ρ = 998 k g / m 3 e g = 9,8   m / s 2 ...

F 2 - F = 469459,2   N

Então, a diferente de forças provocada na parede pelo aumento da água para uma altura de 4 m é de...

4,69 ⋅ 10 5   N

Resposta

4,69 ⋅ 10 5   N

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