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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 54

Há quem diga que poderíamos explorar Marte usando balões de gás para sobrevoar a superfície de perto. A força de empuxo da atmosfera manteria os balões no alto. A densidade da atmosfera marciana [e 0,0154   k g / m 3 (embora esse valor varie com a temperatura). Suponha que esses balões sejam construídos com plásticos fino, mas resistente, com uma densidade tal que cada metro quadrado possua massa de 5,0 g. O gás que usaríamos para inflar esses balões é tão leve que sua massa poderia ser desprezada. (a) Quais devem ser o raio e a massa desses balões para que eles pairem logo acima da superfície de Marte? (b) Se soltarmos um desses balões mencionados no item (a) na Terra, onde a densidade atmosférica é 1,20   k g / m 3 , qual seria a sua aceleração inicial, supondo que o balão tenha o mesmo tamanho que em Marte? Ele subiria ou cairia? (c) Se em Marte esses balões tivessem cinco vezes o raio calculado no item (a), qual seria o peso máximo dos instrumentos que eles poderiam carregar?

Passo 1

A força flutuante B é igual ao peso do ar deslocado pelo balão.

B = ρ a r V g

Tomemos como g M o valor de g para Marte. Para uma esfera

V = 4 3 π R 3

A área da superfície de uma esfera é dado por

A = 4 π R 2

A massa do balão é

( 5,00 × 10 - 3   k g / m 2 ) ( 4 π R 2 )

Passo 2

  1. Assim

    2. B = m g M

    ρ a r V g M = m g M

    Isso implica que

    ρ a r = 4 3 π R 3 = 5,00 × 10 - 3 k g / m 2 ) ( 4 π R 2 )

    R = 3 ( 5,00 × 10 - 3 k g / m 2 ) ρ _ a r = 0,974 m

    E então,

    m = 5,00 × 10 - 3 k g / m 2 ) ( 4 π R 2 ) = 0,0596   k g

    Passo 3

  2. F t o t a l = B - m g = m a

    3. Isso implica que

    B = ρ a r V g = ρ a r 4 3   π R 3 g = 1,20 k h m 3 4 π 3 0,974 m 3 9,80 m s 2 = 45,5   N    

    E a aceleração é

    a = B - m g m = 45,5 N - ( 0,0596 ) ( 9,8 m / s 2 ) 0,0596 m = 754 m / s 2

    Para cima.

    Passo 4

  3. O peso máximo seria dado então por

B = m t o t a l g

ρ a r V g = m b a l ã o + m c a r g a g

Assim,

m c a r g a = ρ a r 4 3   π R 3 - 5,00 × 10 - 3 k g m 2 4 π R 2    

m c a r g a = 0,0154 k g m 3 4 π 3 5 ⋅ 0,974 m 3 - 5,00 × 10 - 3 k g m 2   4 π 5 ⋅ 0,974 m 2

m c a r g a = 7,45 k g - 1,49 k g = 5,96   k g

A força de flutuação é proporcional a R 3 e a massa do balão é proporcional a R 2 ;

a carga que pode ser transportada aumenta quando o raio do balão aumenta. Calculamos a massa da carga. Para encontre o peso da carga que precisaríamos saber o valor de g para Marte.

Resposta

5,96   k g

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