Enunciado

94 . Uma haste de 75   g e 30   c m de comprimento está suspensa verticalmente por um eixo horizontal, livre de atrito, que passa por seu centro. Uma bola de argila de 10   g , deslocando-se horizontalmente a 2,5   m / s , colide com a haste e gruda-se exatamente à sua extremidade inferior. Até que máximo valor de ângulo, medido com relação à vertical, a haste (junto com a argila) irá girar?

Passo 1

Um esquema é:

Nós já temos:

L = 30 v m

M = 75 g

m = 10 g

V 0 = 2,5 m / s

h = L 2 ( 1 - cos ⁡ θ   )

Nós estamos atrás de θ

Passo 2

Sabemos que :

r = L 2

Também sabemos que

I b o l a + h a s t e = I b o l a + I h a s t e

Como

I h a s t e = 1 12 M L 2

I b o l a + h a s t e = m r 2 + 1 12 M L 2  

⇒ I b o l a + h a s t e = L 2 4 m + M 3  

Se v f   é a velocidade final da bola e a bola gruda na haste,

ω = v f r = 2 v f L

Passo 3

Aplicando conservação do momento angular, com nossas deduções do p a s s o   2 :

L i = L f

m v 0 r = ( I b o l a + h a s t e ) ω  

m v 0 r = L 2 4 m + M 3 2 v f L

Nós já temos:

L = 30 v m

M = 75 g

m = 10 g

V 0 = 2,5 m / s

h = L 2 ( 1 - cos ⁡ θ   )

⇒ v f = 0,714 m / s

Passo 4

Aplicando conservação da energia

E i = E f

1 2 I b o l a + h a s t e ω 2 = m g h

1 2 m r 2 + 1 12 M L 2 2 v f L 2 = m g L ( 1 - c o s θ )    

Nós já temos:

L = 30 v m

M = 75 g

m = 10 g

V 0 = 2,5 m / s

h = L 2 ( 1 - cos ⁡ θ   )

⇒ cos ⁡ θ = 0,393

⇒ θ = 67 °  

Resposta

θ = 67 °  

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