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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 60

A ideia de um espaçoporto orbitando a Terra é uma proposta atraente para o lançamento de sondas e/ou missões tripuladas a planetas externo do sistema solar. Suponha que uma tal “plataforma” tenha sido construída e orbita a Terra a uma distância de 450 km acima de sua superfície. Sua equipe de pesquisas está lançando uma sonda lunar em uma órbita que tem o perigeu no raio orbital do espaçoporto e o apogeu no raio orbital da Lua. (a) Para lançar a sonda com sucesso, determine primeiro a rapidez orbital da plataforma. (b) Em seguida, determine a necessária rapidez relativa à plataforma para lançar a sonda, de modo que ela atinja a órbita desejada. Despreze os efeitos de impulso gravitacional da Lua sobre a sonda. Além disso, suponha que o lançamento ocorra em um espaço de tempo desprezível. (c) Você projetou a sonda para que ela envie um sinal de rádio ao atingir o apogeu. Quanto tempo, após o lançamento, você espera receber este sinal da sonda (despreze o tempo de trânsito do sinal até a plataforma, da ordem de um segundo)?

Passo 1

Vamo devagarinho que o enunciado é gigantesco e tem várias letras pra resolver. Mas isso tudo é só drama, fazendo uma coisa por vez dá tudo certo no fim. Podemos começar usando o fato de que a energia cinética da plataforma que orbita é metade da energia potencial gravitacional e assim encontraremos a velocidade da plataforma e matamos a letra (a):

K = 1 2   U g

Para a letra (b): sabemos que a velocidade necessária de lançamento é a velocidade da plataforma menos a velocidade da sonda no perigeu. Para encontrar a velocidade da sonda no perigeu, podemos usar a conservação da energia mecânica e a lei de áreas iguais de Kepler!

Pra acabar a questão vamos a 3ª lei de Kepler para encontrar o tempo após o lançamento que se espera receber o sinal da sonda falando que atingiu o apogeu e teremos a resposta da letra (c).

Passo 2

Para a letra (a) podemos substituir cada uma das energias na equação que temos:

K = 1 2   U g

Substituindo:

1 2 m v 2 = 1 2 G M T e r r a m r

Onde m é a massa da plataforma e r é a distância do centro da Terra à plataforma.

Isolando o v :

v = G M T e r r a r

Substuindo os valores numéricos:

v = 6.67 ∙ 10 - 11   m 3 k g - 1 s - 2 5.97 ∙ 10 24   k g 6.37 ∙ 10 6   m + 0.450 ∙ 10 6 = 7.65   k m / s

Essa é a resposta da letra (a)! Agora vamos para a letra (b).

Passo 3

Como descrevemos antes, a velocidade relativa à plataforma é a diferença entre a velocidade da sonda e a velocidade da plataforma:

v r e l = v p - v

Aqui o raio de órbita da plataforma estará no perigeu da sonda, ou seja, a velocidade de lançamento apontará na direção que a plataforma está se movimentando no lançamento. Vamos aplicar conservação de energia no sistema Terra-sonda do perigeu ao apogeu e ficamos com:

K p - K a + U p - U a = 0

1 2 m v p 2 - 1 2 m v a 2 - G m M T e r r a r p - - G m M T e r r a r a = 0

Simplificando essa equação, ficamos com:

v p 2 1 - v a v p = 2 G M T e r r a 1 r p - 1 r a

Passo 4

Aplicando a lei de Kepler das áreas iguais no perigeu e no apogeu:

v p r p = v a r a → v a = r p r a   v p

Substituindo na equação anterior:

v p 2 1 - r p r a = 2 G M T e r r a 1 r p - 1 r a

Onde:

r p = R T e r r a + h = 6370   k m + 450   k m = 6820   k m

E

r a = 3.84 ∙ 10 5   k m

Passo 5

Como r p ≪ r a , podemos fazer uma aproximação:

v p 2 ≈ 2 G M T e r r a 1 r p = 2 G M T e r r a r p

Isolando v p e substituindo os valores numéricos:

v p ≈ 2 6.67 ∙ 10 - 11   m 3 k g - 1 s - 2 5.97 ∙ 10 24   k g 6820   k m = 10.8   k m / s

Agora podemos substituir na equação lá do começo da letra (b) e encontrar v r e l :

v r e l = 10.8   k m / s   - 7.65   k m / s  

v r e l = 3.2   k m / s

Essa é a resposta da letra (b), rumo à letra (c)!

Passo 6

O tempo após o lançamento que esperamos receber o sinal é metade do período da sonda:

Δ t = 1 2 T

E podemos obter esse período a partir da 3ª lei de Kepler! Assim ó:

T 2 = 4 π 2 G M T e r r a   a 3 → T = 4 π 2 a 3 G M T e r r a

Onde a é o semieixo maior.

Passo 7

Agora é só substituir isso na primeira equação, substituir os valores e correr pro abraço!

Δ t = 1 2 4 π 2 a 3 G M T e r r a = π 2 a 3 G M T e r r a

Substituindo os valores:

Δ t = π 2 1 2 3.844 ∙ 10 8   m + 6.37 + 0.45 ∙ 10 6   m 3 6.67 ∙ 10 - 11   m 3 k g - 1 s - 2 5.97 ∙ 10 24   k g = 4.303 ∙ 10 5   s ≈ 5.0   d i a s

Resposta

  1. 7.65   k m / s
  2. 3.2   k m / s
  3. 5.0   d i a s
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