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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 13

Iluminando-se sucessivamente a superfície de um metal com luz de dois comprimentos de onda diferentes, λ 1 e λ 2 , encontra-se que as velocidades máximas dos fotoelétricos emitidos estão relacionados por: v 1 , m a x = α   v 2 , m a x . Demonstre que a função trabalho é dada por

W = α 2 λ 1 - λ 2 h c α 2 - 1 λ 1 λ 2

Passo 1

Vamos lá! Primeiro podemos escrever que para o efeito fotoelétrico, temos

h ν - W = 1 2 m e v 2

Como a função trabalho para uma mesma superfície deve ser igual, podemos escrever

h ν 1 - W = 1 2 m e v 1 2 ;

h ν 2 - W = 1 2 m e v 2 2 .

Passo 2

Como

ν = c λ

Temos

h c λ 1 - W = 1 2 m e v 1 2 ;

h c λ 2 - W = 1 2 m e v 2 2 .       ( 1 )

Isolando o trabalho, podemos igualar as duas expressões, obtendo que

h c λ 1 - 1 2 m e v 1 2 = h c λ 2 - 1 2 m e v 2 2 ;

h c 1 λ 1 - 1 λ 2 = 1 2 m e v 1 2 - v 2 2         ( 2 )

Passo 3

Lembrando da relação dada no enunciado

v 1 , m a x = α   v 2 , m a x

Podemos, para simplificar, escrever

v 1 = α v 2

Substituindo na equação (2)

h c 1 λ 1 - 1 λ 2 = 1 2 m e α v 2 2 - v 2 2

Isolando v 2 2 , temos

v 2 2 = 2 h c m e 1 α 2 - 1   1 λ 1 - 1 λ 2     .

Passo 4

Agora precisamos substituir v 2 2 na equação (1)

W = h c λ 2 - 1 2 m e 2 h c m e 1 α 2 - 1   1 λ 1 - 1 λ 2

W = h c 1 λ 2 - 1 α 2 - 1 1 λ 1 - 1 λ 2

W = h c 1 λ 2 - 1 α 2 - 1 λ 2 - λ 1 λ 1 λ 2

Fazendo o mmc, temos

W = h c α 2 - 1 λ 1 - λ 2 + λ 1 α 2 - 1   λ 1 λ 2

W = h c α 2 λ 1 - λ 2 α 2 - 1   λ 1 λ 2   .

Pronto! Conseguimos fazer a demonstração!

Resposta

W = h c α 2 λ 1 - λ 2 α 2 - 1   λ 1 λ 2  

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