O índice de refração de um meio inomogêneo, em função da altitude z , é dado por n = n 0 + n ' z , onde n 0 e n ' são constantes. Um raio luminoso no plano ( x z ) parte da origem numa direção de cosenos diretores α 0 ,β 0 . Obtenha a equação da trajetória desse raio.

x = α 0 n 0 n ' ln ⁡ n ' z - n 0 + n 0 - n ' z 2 - n 0 α 0 2 n 0 1 - β 0

Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 26

O índice de refração de um meio inomogêneo, em função da altitude , é dado por , onde e são constantes. Um raio luminoso no plano ) parte da origem numa direção de cosenos diretores . Obtenha a equação da trajetória desse raio.

Passo 1

Antes de começarmos, uma rápida correção do enunciado. A expressão que devia estar escrita é

A equação dos raios de luz é

Portanto, escrevendo cada componente de parametrizada em termos de (distância percorrida pelo raio):

Como tudo está acontecendo no plano , podemos esquecer completamente da coordenada !

Temos que para a componente :

Mas como , temos que

Assim,

Podemos achar essa constante aplicando a relação em :

Mas em , temos que :

Note que a condição inicial sobre é o cosseno diretor . Com isso,

Vamos deixar essa relação guardada!

Passo 2

Sabemos que respeita a relação

Assim,

Usando a relação encontrando no passo 1:

Logo,

Usando que a soma dos quadrados dos cossenos diretores deve ser :

Assim,

Passo 3

Agora vamos eliminar o parâmetro :

Podemos colocar o do denominador dentro da raiz, de modo que

Por uma questão de simplicidade, vamos escrever

Assim,

Com isso, caímos da equação diferencial

Portanto,

Passo 4

Resolver essa integral não é tarefa fácil. Primeiro vamos brincar um pouco com a expressão dentro da raiz:

Logo,

Assim

Vamos fazer a mudança de variável

Portanto,

Pra resolver essa integral, aconselho a dar uma olhada numa tabela de integrais:

No nosso caso, temos que . Assim

Lembrando que :

Para achar a constante , lembramos que a condição inicial é :

Logo,

Portanto,

Ou ainda,

Passo 5

Essa resposta que encontramos já está de ótimo tamanho, mas vamos brincar mais um pouquinho para chegar na mesma resposta do livro...

Lembre-se que

Assim,

Ou ainda,

Por fim, lembre-se que

Logo,

Resposta

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Enunciado

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Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Resposta

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