Considere um prisma de ângulo de abertura e um raio incidente sobre uma face com ângulo de incidência: seja o índice de refração do prisma. Chama-se desvio o ângulo entre as direções do raio emergente é do raio incidente (fig.). Mostre que, para pequenos ângulos de abertura () e pequenos ângulos de incidência (), o desvio é independente de e é dado por .

Vamos lá! Acompanha aqui comigo.

Primeiro, vamos prolongar as normais, vemos que elas formam um triângulo. Vamos chamar alguns ângulos e tirar umas propriedades disso, usando geometria. Bora lá!

Vemos que:

Olhando para os triângulos formados, vamos usar que a soma dos ângulos internos é .

E

Dessas duas, temos que

Beleza.

Além disso, vemos que

Então

Substituindo o :

Mas olha lá para as primeiras duas relações que achamos:

E

Com isso:

Show! Guarda essa aí.

Vamos olhar agora para o quadrilátero que eu destaquei aqui:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é , então:

Ali temos os ângulos retos por causa da normal em relação ao prisma, ok?

Mas olha, lá em cima, nos vimos que:

Então

Beleza.

Mas o enunciado diz que , então, como , temos que . Mas aí o que encontramos é

E como , , mas vimos que , dessa forma

Além disso, como , . Com isso, a expressão para que encontramos:

Fica

Colocando o em evidencia:

Mas,

Então

Agora, vamos usar a lei de snell na interface do lado direito do prisma:

Tomando , ou seja, o ar. Temos:

Mas, para pequenos ângulos, vale a aproximação . Então

Com isso, a expressão para fica:

Prontinho!!