Indo para o trabalho, João caminha 800   m na direção leste (direção i ), segue depois para o sul (direção - j ) e caminha 500   m . Chega ao edifício onde trabalha, toma o elevador e sobre 100   m (direção k ). Calcule: A) o módulo do deslocamento d de João; B) o ângulo entre d e a direção norte.

Passo 1

Salve pessoas, tudo certo? Então, nesta questão iremos abordar como os vetores funcionam no tocante a módulo e ângulo entre vetores, okay? Primeiro vamos adotar a casa de João como a origem da coisa toda. Daí ele caminha 800   m e t r o s na direção i , e a questão ainda nos diz que é a direção leste. Só por ai já sabemos que: Direção norte se dá por + j , direção sul se dá por - j e direção oeste se dá por - i . Continuando, ele depois segue para o sul por 500   m e depois sobe 100   m na direção k . Representei isso graficamente na imagem abaixo:

Passo 2

Para acharmos o item (A), é bem simples. O módulo desse vetor é dado por:

d = z i 2 + z j 2 + z k 2 = 800 2 + 500 2 + 100 2  

d = 900000

d = 948.6   m e t r o s

Passo 3

Para o item (B), o ângulo entre o vetor do módulo d e a direção norte ( j ). Usaremos a formula de:

c = a b   s e n ( θ )

Onde c é igual ao seno do ângulo do plano formado entre os vetores com seu produto vetorial (que é 90   ° ), ou seja: c = 1 . Já o a e b é o módulo de cada vetor, portanto:

1 = 948.6 ⋅ 1 ⋅ s e n ( θ )

Isolando θ :

θ = a r c s e n   1 948.6

θ = 121.8 °

Resposta

A d = 948.6   m e t r o s

B θ = 121.8 °

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