Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.1 - Ex. 2
Influência da Lua. Algumas pessoas acreditam que suas atividades são controladas pela Lua. Se a Lua estava do outro lado da Terra, ao longo de uma reta que passava por você e pelo centro da Terra, e passa para outra posição diametralmente oposta, verticalmente acima da sua cabeça, qual é a variação percentual (a) da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você e (b) do seu peso? Suponha que a distância Terra-Lua (de centro a centro) é de e que o raio da Terra é de .
Passo 1
Falaaaa galerinha do RespondeAí, show de bolinhas com vocês?
(a) Bom, para saber a variação percentual, precisamos calcular a razão de atração gravitacional que a lua exerce sobre um corpo na Terra quando ela se encontra nos momentos mais próximo e mais afastado dele. Assim, temos:
Ponto inicial da Lua (mais afastada):
Ponto final da Lua (mais perto de você):
onde é a massa da Lua, é a distância entre o centro da Lua e o centro da Terra e é o raio da Terra. Assim, dividindo uma equação pela outra, a gente obtém:
Simplificando a fração:
E substituindo os valores que o enunciado nos dá:
Dessa forma, temos que a força final da Lua é vezes maior que a inicial. (Obs.: para saber a variação percentual é só multiplicar esse fator por , ficando )
Logo, quando a Lua está mais próxima da Terra, há um aumento da intensidade gravitacional gerada pela Lua de aproximadamente 6,9%, porque é a quantidade que está acima dos .
Passo 2
(b) Vamos pensar nas forças que agem sobre você, ok? Temos as forças de atração da Lua e da Terra, em direções opostas, quando a Lua está acima de você. Como seu peso está de acordo com a força gravitacional da Terra, a Lua estaria diminuindo ele, quando está em cima de você. Pois ela o puxaria na direção oposta.
Dessa forma, seu peso vai variar de acordo com a força que a Lua exerce sobre você, certo? Já que a força da Terra não muda... Logo, precisamos saber o quanto a força da Lua variou para saber quanto seu peso variou. E sabemos que a força da Lua varia de para .
A variação de peso é:
Colocando em evidência:
Por outro lado, o peso pode escrito, na escala da Terra, como
Assim, a variação percentual da redução de peso é:
Podemos simplificar o e arrumar essa divisão de frações passando o para o numerador:
Assim, só deixando mais bonitinho:
Então, procurando no google, podemos achar que a massa da Lua é Terras, ou seja: , ok?? Isso já nos ajuda nas contas. Vamos substituir todos os valores que sabemos, então:
Fazendo essa conta monstra:
O que da uma variação percentual muito pequena. Para achar o percentual, é só multiplicar por 100, igual na letra anterior:
Resposta
(a) Aproximadamente
(b) Aproximadamente