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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 67

Um instrumento cortante controlado por um microprocessador possui diversas forças atuando sobre ele. Uma das forças é dada por –axy2 , uma força orientada no sentido negativo do eixo y cujo módulo depende da posição do instrumento. Para a 2,50 N/m3, considere o deslocamento do instrumento desde a origem até o ponto (x 3,00 m, y 3,00 m). (a) Calcule o trabalho realizado pela força sobre o instrumento para um deslocamento ao longo da reta y x que conecta esses dois pontos. (b) Calcule o trabalho realizado pela força sobre o instrumento quando ele é inicialmente deslocado ao longo do eixo x até o ponto (x 3,0 m, y 0) e a seguir deslocado paralelamente ao eixo y até o ponto (x 3,0 m, y 3,0 m). (c) Compare os resultados dos trabalhos realizados por nessas duas trajetórias. A força é conservativa ou não conservativa? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que esteja tudo bem com meu os herdeiros de Newton. Vamos dar início a mais uma resolução com o padrão de qualidade do Responde aí, então pegue seu lápis, caderno e café e vamos nessa!!!

Sabemos que o trabalho realizado por uma força variável F⃗ em uma partícula movendo-se ao longo de um caminho de P1 para P2 é dado por:

W = ∫ P 1 P 2 F ∙ d l

Onde dl⃗ é o deslocamento infinitesimal.

Temos a força variável é F   =   - α x y ² ĵ , onde α = 2.50   N / m ³

E temos o ponto inicial é (x1,y1)=(0,0) e o ponto final é (x2,y2)=(3,3).

Passo 2

  1. Se o deslocamento for ao longo da linha reta y=x, então o deslocamento infinitesimal é dado por:

d l   =   d x î + d y ĵ

W = ∫ ( 0,0 ) ( 3,3 ) ( - α x y ² ĵ ) ( d x î + d y ĵ )

= ∫ 0 3 - α x y ² d y

Substituindo x=y, obtemos:

W = ∫ 0 3 - α y y ² d y = - α ∫ 0 3 y ³ d y = - α [ y ⁴ 4 ] 0 3

Agora, conectamos nossos valores, então obtemos:

W = - 2.5 [ 3 ⁴ 0 - 0 ] = 50.625   J

W = - 50.625   J

Passo 3

b)Aqui, passamos do ponto inicial ao ponto final em duas etapas:

Primeira etapa: De P1=(0,0) a P2=(3,0)

Nesta etapa, o deslocamento infinitesimal é dado por:

d l = d x î

W 1 = ∫ ( 0,0 ) ( 3,0 ) ( - α x y ² ĵ ) ( d x î ) = 0

Segunda etapa: De P1=(3,0) a P2=(3,0).

Nesta etapa, o deslocamento infinitesimal é dado por:

d l = d y ĵ

W 2 = ∫ ( 0,0 ) ( 3,0 ) ( - α x y ² ĵ ) ( d x ĵ ) = 0

W 2 = ∫ 0 3 - α x y ² d y

Nesta etapa, a partícula está se movendo apenas no y, então x é constante e igual a 3, então obtemos:

W 2 = ∫ 0 3 - α 3 y ² d y = - 3 α ∫ 0 3 y ² d y = - 3 α [ y ³ 3 ] 0 3

Agora, conectamos nossos valores, então obtemos:

W 2 = - 67.5   J

Assim, o trabalho total realizado sobre a partícula é:

W t o t = W 1 + W 2 = 0 - 67.5 = - 67.5 J

Resposta

W = - 67.5 J

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