Integrando diretamente, calcule o momento de inércia de uma haste delgada de Massa M e comprimento L em torno de um eixo localizado a uma distância d de uma das extremidades. Confirme se sua resposta concorda com a Tabela 12.2 quando d = 0 e quando d = L / 2 .

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente integrar diretamente para encontrarmos o momento de inércia, vamos usar a equação:

I = ∫ r 2   d m

Sendo que r é a distância entre cada pedacinho da barra d m e o eixo de rotação.

Vamos considerar que uma das extremidades está na origem do nosso sistema (a esquerda), e a haste se prolonga no eixo x . Precisamos escrever uma relação entre os infinitesimais de massa d m e o eixo x .

Para isso, vamos usar a densidade da haste, se a densidade for sempre a mesma em todos os pontos da haste podemos escrever o seguinte:

d m = M L d x

Como dá para ver, se integrássemos x de 0 a L do lado esquerdo e o d m do lado direito, teríamos M dos dois lados, então nossa relação acima faz sentido:

M = ∫ 0 L M L d x

Passo 2

Agora a gente substitui o d m na integral do momento de inércia:

I = ∫ x 2   M L d x

E então podemos adicionar os limites de integração, no primeiro caso, a distância entre o eixo e a extremidade é d = 0 , isso significa que nosso eixo está na origem do sistema, então basta a gente integrar de 0 a L :

I = ∫ 0 L x 2   M L d x

Vai ficar:

I = L 3 3 M L

I = M L 2 3

Passo 3

E no caso de d = L / 2 , o eixo está no meio da barra, e a integral vai ser na verdade uma soma, porque precisamos integrar os dois lados da barra separados:

I = ∫ L / 2 0 x 2   M L d x + ∫ L / 2 L x 2   M L d x

Repare que em cada integral, colocamos o limite inferior em L / 2 , que é a posição do eixo de rotação no nosso sistema de coordenadas, e SEMPRE devemos fazer assim, já que o r 2 lá no início do Passo 1 se refere à distância entre cada ponto e o eixo.

Os resultados das integrais são:

I = M L 0 - L 3 8 + M L L 3 3 - L 3 8

I = - M L 2 8 + 5 M L 2 24

I = 2 24 M L 2 = 1 12 M L 2

Que correspondem aos valores da tabela que o livro indica!

Resposta

I = 1 3 M L 2

I = 1 12 M L 2

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