Enunciado
Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 12.Exercícios e Problemas - Ex. 57
Integrando diretamente, calcule o momento de inércia de uma haste delgada de Massa e comprimento em torno de um eixo localizado a uma distância d de uma das extremidades. Confirme se sua resposta concorda com a Tabela 12.2 quando e quando .
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente integrar diretamente para encontrarmos o momento de inércia, vamos usar a equação:
Sendo que é a distância entre cada pedacinho da barra e o eixo de rotação.
Vamos considerar que uma das extremidades está na origem do nosso sistema (a esquerda), e a haste se prolonga no eixo . Precisamos escrever uma relação entre os infinitesimais de massa e o eixo .
Para isso, vamos usar a densidade da haste, se a densidade for sempre a mesma em todos os pontos da haste podemos escrever o seguinte:
Como dá para ver, se integrássemos de a do lado esquerdo e o do lado direito, teríamos dos dois lados, então nossa relação acima faz sentido:
Passo 2
Agora a gente substitui o na integral do momento de inércia:
E então podemos adicionar os limites de integração, no primeiro caso, a distância entre o eixo e a extremidade é , isso significa que nosso eixo está na origem do sistema, então basta a gente integrar de a :
Vai ficar:
Passo 3
E no caso de , o eixo está no meio da barra, e a integral vai ser na verdade uma soma, porque precisamos integrar os dois lados da barra separados:
Repare que em cada integral, colocamos o limite inferior em , que é a posição do eixo de rotação no nosso sistema de coordenadas, e SEMPRE devemos fazer assim, já que o lá no início do Passo 1 se refere à distância entre cada ponto e o eixo.
Os resultados das integrais são:
Que correspondem aos valores da tabela que o livro indica!