Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 12.Exercícios e Problemas - Ex. 57

Integrando diretamente, calcule o momento de inércia de uma haste delgada de Massa e comprimento em torno de um eixo localizado a uma distância d de uma das extremidades. Confirme se sua resposta concorda com a Tabela 12.2 quando e quando .

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente integrar diretamente para encontrarmos o momento de inércia, vamos usar a equação:

Sendo que é a distância entre cada pedacinho da barra e o eixo de rotação.

Vamos considerar que uma das extremidades está na origem do nosso sistema (a esquerda), e a haste se prolonga no eixo . Precisamos escrever uma relação entre os infinitesimais de massa e o eixo .

Para isso, vamos usar a densidade da haste, se a densidade for sempre a mesma em todos os pontos da haste podemos escrever o seguinte:

Como dá para ver, se integrássemos de a do lado esquerdo e o do lado direito, teríamos dos dois lados, então nossa relação acima faz sentido:

Passo 2

Agora a gente substitui o na integral do momento de inércia:

E então podemos adicionar os limites de integração, no primeiro caso, a distância entre o eixo e a extremidade é , isso significa que nosso eixo está na origem do sistema, então basta a gente integrar de a :

Vai ficar:

Passo 3

E no caso de , o eixo está no meio da barra, e a integral vai ser na verdade uma soma, porque precisamos integrar os dois lados da barra separados:

Repare que em cada integral, colocamos o limite inferior em , que é a posição do eixo de rotação no nosso sistema de coordenadas, e SEMPRE devemos fazer assim, já que o lá no início do Passo 1 se refere à distância entre cada ponto e o eixo.