Um ioiô de massa M , raio interno r , raio externo R e momento de inércia I C M em relação ao seu centro e massa, é puxado pelo fio enrolado em seu eixo central, de forma a rolar sem deslizamento sobre uma mesa horizontal, através de uma força F que faz um ângulo ϕ com a horizontal (Fig)

Passo 1

(a) Para que o ioiô permaneca em cotato com a mesa, a normal deve ser não nula. No eixo y , teremos o seguinte:

F s e n ϕ + N = m g     ( i )

Para nossa situação N > 0 , assim:

m g -   F s e n ϕ > 0

Então,

F < m g s e n ϕ

(b) Como queremos saber a aceleração angular α , podemos calcular o analisar o torque com relação ao centro do ioiô.

τ r e s = I α

Assim,

f a t R - F r = I α     ( i i )

Nessa situaçã

No eixo x :

F c o s ϕ - f a t = M a     ( i i i )

Passo 2

Agora vamos juntar as coisas.

f a t R - F r = I α F s e n ϕ + N = m g F c o s ϕ - f a t = M a    

Usando na terceira equação que a = α R :

f a t = F c o s ϕ - M R α

Subsbtituindo na primeira equação:

F c o s ϕ - M R α ⋅ R - F r = I C M α

Isolando o α :

α = F c o s ϕ - F r I C M + M R 2

Assim,

α = F R cos ⁡ ϕ - r I C M + M R 2

Passo 3

No caso do ângulo critico ocorre para α = 0 , logo:

α = 0 :

F R cos ⁡ θ c - r I C M + M R 2 = 0 → cos ⁡ θ c = r R

Isto é,

θ c = cos - 1 ⁡ r R

α < 0 :

O carretel irá rodar no sentido anti-horário

α > 0 :

O carretel irá rodar no sentido horário

Resposta

  1. F < m g s e n ϕ

  2. α = F R cos ⁡ ϕ - r I C M + M R 2

θ c = cos - 1 ⁡ r R

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