Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira em torno de um eixo vertical com velocidade escalar constante, mantendo-se a uma distância d = 0.5 m do eixo; o ângulo θ é igual a 30 ° . O fio passa sem atrito através de um orifício numa placa e é puxado lentamente para cima até que o ângulo θ passa a 60 ° . (a) Que comprimento do fio foi puxado? (b) De que fator variou a velocidade de rotação?

Passo 1

Vamos analisar a rotação dessa bolinha!

Da situação, podemos escrever:

T s e n θ = m ω 2 d

T c o s θ = m g

Dividindo as duas:

t g θ = ω 2 d g

No primeiro instante, o ângulo era 30 ° , e depois que a corda é puxada passa a ser 60 ° .

t g 30 ° = ω 0 2 d g

t g 60 ° = ω 2 d ' g

Dividindo as duas:

t g 60 ° t g 30 ° = ω 2 d ' ω 0 2 d = 3

Passo 2

Agora vamos conservar o momento angular!

I ω = I 0 ω 0

O momento de inercia de um ponto a gente já conhece!

m d ' 2 ω = m d 2 ω 0

ω ω 0 = d 2 d ' 2

Elevando ao quadrado:

ω 2 ω 0 2 = d 4 d ' 4

Substituindo isso na equação do passo 1 :

d 4 d ' d ' 3 d = 3

d 3 d ' 3 = 3

Daqui, como d = 0.5 m :

d ' = 0.34 m

Passo 3

O fio puxado pode ser medido pela segunda situação:

s e n 60 ° = d ' l = d ' 1 - x

d ' 1 - x = 3 2

Como d ' = 0.34 m :

1 - x = 2 0.34 3

x = 1 - 2 0.34 3

x = 0.6 m

E achando a razão entre as velocidades de rotação:

ω ω 0 = d 2 d ' 2

ω ω 0 = 0.5 0.34 2

ω ω 0 = 2.2

Resposta

  1. x = 0.6 m
  2. ω ω 0 = 2.2
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