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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 27

27. Jatos supersônicos tem rapidez máxima de cerca 3,00 × 10 - 6 c .

(a) Qual o percentual da contração do comprimento sofrida por um jato viajando com esta rapidez?

(b) Durante um tempo de exatamente um ano, ou 3,15 × 10 7   s em seu relógio, quanto tempo terá decorrido no relógio do piloto? Quantos minutos são perdidos pelo relógio do piloto em um ano de seu tempo? Suponha que você esteja no solo e que o piloto esteja viajando com aquela rapidez durante todo o ano.

Passo 1

(a) Vamos usar a relação entre o comprimento medido L   do jato e seu comprimento adequado L 0 para expressar o percentual da contração no comprimento do jato viajando em sua velocidade máxima. Com base nisso, chegamos até a formula abaixo, onde a diferença entre os comprimentos, dividida pelo tamanho adequado, nos dá o que queremos:

L 0 - L L 0 = 1 - L L 0

Agora, vamos obter o valor do comprimento medido L , através da já conhecida fórmula abaixo:

L = L 0 1 - v 2 c 2

E depois, substituímos L na nossa relação:

L 0 - L L 0 = 1 - L L 0 = 1 - L 0 1 - v 2 c 2 L 0

L 0 - L L 0 = 1 - 1 - v 2 c 2

L 0 - L L 0 = 1 - 1 - v 2 c 2 1 2

O que temos que fazer em seguida, é aplicar expansão binomial à nossa expressão que está elevado a 1 / 2 , de forma a facilitar nosso cálculo. Lembra lá da expansão binomial?. Se não lembra é bom saber, que se existem dois números quaisquer a e b , ao elevarmos a soma desses dois números a outro número qualquer n , a expressão pode ser escrita, por expansão binomial como:

( a + b ) n = a n + n a n - 1 b + n n - 1 2 a n - 2 b 2 + ⋯ + b n

Vamos então usar essa ferramenta à nossa expressãozinha:

L 0 - L L 0 = 1 - 1 - v 2 c 2 1 2

L 0 - L L 0 = 1 - 1 - 1 2 v 2 c 2 + 3 8 v 4 c 4 + ⋯

A partir do segundo termo da expansão binomial vamos desconsiderar, uma vez que que esses termos estão tão perto de zero, que são desprezíveis, de modo que podemos aproximar nossa relação para:

L 0 - L L 0 ≈ 1 - 1 - 1 2 v 2 c 2

L 0 - L L 0 ≈ 1 2 v 2 c 2

Só resta, então, substituir os valores númericos:

L 0 - L L 0 ≈ 1 2 ( 3,00 × 10 - 6 c ) 2 ( c ) 2

L 0 - L L 0 ≅ 4,5 × 10 - 12   ≅ 4,5 × 10 - 10   %

Passo 2

(b) Vamos expressar o tempo decorrido no relógio do piloto ∆ t 0 em termos do tempo decorrido ∆ t no seu relógio, com base na fórmula abaixo:

∆ t = ∆ t 0 1 - v 2 c 2

∆ t 0 = ∆ t 1 - v 2 c 2

∆ t 0 = ∆ t 1 - v 2 c 2 1 2

Pela expansão binomial da letra (a), sabemos que:

1 - v 2 c 2 1 2 ≈ 1 - 1 2 v 2 c 2

Então, temos que:

∆ t 0 = ∆ t 1 - v 2 c 2 1 2 ≈ ∆ t 1 - 1 2 v 2 c 2

Finalmente, basta substituir os valores númericos de cada variável para encontrar nosso ∆ t 0 :

∆ t 0 ≈ ( 3,15 × 10 7   s ) 1 - 1 2 ( 3,00 × 10 - 6 c ) 2 c 2

∆ t 0 ≅ 3,15 × 10 7   s ≅ 1   a n o

Passo 3

Mas, por incrível que pareça, ainda não acabou! Falta obter a diferença de tempo entre ∆ t e ∆ t 0 , para encontrar os minutos perdidos. Vamos lá, que falta pouco:

∆ t - ∆ t 0 = ∆ t - ∆ t 1 - v 2 c 2 1 2 = ∆ t 1 - 1 - v 2 c 2 1 2

Pela expansão binomial da letra (a), sabemos que a relação acima na verdade pode ser escrita como:

∆ t - ∆ t 0 ≈ ∆ t 1 - 1 - 1 2 v 2 c 2

∆ t - ∆ t 0 ≈ ∆ t 1 2 v 2 c 2

Substituem-se os valores númericos pertinentes a cada variável, de modo que chegamos em:

∆ t - ∆ t 0 ≅ 3,15 × 10 7 s 1 2 3,00 × 10 - 6 c 2 c 2

∆ t - ∆ t 0 ≅ 1,4175 × 10 - 4   s

∆ t - ∆ t 0 ≅ 1,4175 × 10 - 4   s 1 m i n 60 s

∆ t - ∆ t 0 ≅ 2,37   μ m i n

Resposta

a) 4,5 × 10 - 10   %

b) Teria decorrido um tempo de quase 1 ano, sendo que a diferença de tempo registrado entre o meu relógio e o do piloto é de 2,37   μ m i n .

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