Uma lâmina de água de sabão (índice de refração igual ao da água), colocado num aro vertical, escorre para baixo formando uma cunha. Observada por reflexão com luz de sódio ( λ = 589   n m ) incidente perpendicularmente, verifica-se que há uma franja escura no topo e 4 franjas escuras por c m na lâmina. Qual é o ângulo de abertura da cuna (em radianos)?

Passo 1

Vamos considerar a seguinte situação:

Os raios refletidos 1 e 2 vão interferir: precisamos descobrir a defasagem entre eles! A diferença de caminho entre eles é devido à espessura de sabão. Supondo incidência normal, essa diferença de caminho é o dobro da espessura d da camada:

Δ x = 2 d

Na reflexão do raio 1 entre o ar e o sabao, como n s a b a o > n a r , há inversão de fase. Por outro lado, na reflexão do raio 2, não há inversão. Como há inversão de fase em uma reflexão mas não ocorre na outra, devemos somar π na diferença de fase:

Δ = k s a b a o Δ x + π

Assim,

Δ = 2 π λ s a b a o ⋅ 2 d + π

Mas sabemos que

λ s a b a o = λ n

Portanto,

Δ = π   4 n d λ + 1

Mas note que dependendo da posição da cunha em que a luz incide, a espessura d vai se diferente. Isso vai origem a máximos e mínimos de reflexão. Vamos focar nos mínimos, com

Δ = 2 m + 1 π

Assim,

2 m + 1 = 4 n d λ + 1

Portanto,

m = 2 n d λ ⇒ d = m λ 2 n

Note que a espessura d em que acontece o mínimo depende de m . Portanto, vamos escrever

d m = m λ 2 n

Passo 2

Vamos analisar o que acontece entre dois mínimos consecutivos:

A altura h é dada por

h = d m - d m - 1 = m λ 2 n - m - 1 λ 2 n

Assim,

h = λ 2 n

Se temos 4 franjas a cada c m , a distância entre duas franjas consecutivas é

y = 1 4   c m = 0,25 ⋅ 10 - 2   m

Passo 3

Com isso, temos que

s e n   θ = h y = λ 2 n y

Logo,

s e n   θ = 589 ⋅ 10 - 9 2 ⋅ 1,33 ⋅ 0,25 ⋅ 10 - 2 = 8,8 ⋅ 10 - 5

Como o seno é muito pequeno, podemos usar a aproximação:

s e n   θ ≈ θ

Portanto,

θ = 8,8 ⋅ 10 - 5   r a d

Resposta

θ = 8,8 ⋅ 10 - 5   r a d

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