Mede-se a velocidade v de propagação de ondas transversais num fio com uma extremidade presa a uma parede, que é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso da outra extremidade através de uma polia. Depois, mergulha-se o bloco na água até os 2 / 3 da altura e verifica-se que a velocidade de propagação cai para 95,5 % da anterior, qual é a denisdade do bloco em relação á água?

Passo 1

A velocidade de propagação da onda no fio segue a seguinte fórmula:

v = T μ

Nesse caso, a tensão é simplesmente o peso efetivo do bloco (ou seja, a força resultante que ele faz para baixo).

Inicialmente, quando o bloco não está imerso, tínhamos a seguinte relação:

v 0 = m g μ

Quando o peso efetivo muda para um valor P e f novo, passamos a ter o seguinte:

v = 0,955   v 0

P e f μ = 0,955 m g μ

Elevando os dois lados ao quadrado:

P e f = 0,955 2   m g

Passo 2

Podemos deduzir que o peso efetivo é um pouco menor por conta do empuxo produzido pelo fluido, que empurra o bloco para cima:

P e f = m g - E

Substituindo isso na equação de cima:

m g - E = 0,955 2   m g

m g 1 - 0,955 2 = E

Agora vamos escrever a massa do bloco como:

m = ρ B V

Onde ρ B é a densidade do bloco. E o empuxo sobre o bloco como:

E = ρ A g V s u b m e r s o

Onde ρ A é a densidade da água. Então:

ρ B V g 1 - 0,955 2 = ρ A g V s u b m e r s o

ρ B = ρ A 1 - 0,955 2 V s u b m e r s o V

Passo 3

Podemos escrever o volume submerso do bloco como:

V s u b = A h s u b

Se a altura submersa é 2 / 3 da altura total, então:

h s u b = 2 3 h

V s u b = 2 3 A h = 2 3 V

Substituindo isso na nossa fórmula do passo anterior:

ρ B = ρ A 1 - 0,955 2 2 3

ρ B ≈ 7,6   ρ A

Resposta

A densidade do bloco é 7,6 vezes a densidade da água.

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