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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 5

Uma partícula de massa m move-se na direção z no interior de um fluido, cuja resistência de atrito é da forma - ρ z ˙ ou seja, é proporcional à velocidade ρ > 0 . A força peso é desprezível em confronto com a resistência de atrito durante o intervalo de tempo considerado. Dadas a posição inicial z 0 e a velocidade inicial v 0 , ache z t .

Passo 1

Pela segunda lei de Newton, temos a seguinte relação:

∑ F = - ρ z ˙

m z ¨ = - ρ z ˙

m z ¨ + ρ z ˙ = 0

A melhor forma de resolver essa EDO é chutando uma solução exponencial:

z t = z 0 e ω t

Substituindo isso na EDO, temos:

m z 0 ω 2 e ω t + ρ z 0 ω e ω t = 0

Dividindo tudo por z 0 e ω t :

m ω 2 + ρ ω = 0

ω ω + ρ m = 0

E as soluções possíveis são:

ω 1 = 0 ω 2 = - ρ m

Então a solução geral é:

z t = A e - ρ m t + B

Passo 2

Vamos aplicar as condições iniciais sobre essa solução geral:

z 0 = z 0 z ˙ 0 = v 0

Começando pela primeira:

z 0 = A e 0 + B = z 0

A + B = z 0

E agora vamos tirar a primeira derivada para aplicar a segunda condição:

z ˙ t = - ρ m A e - ρ m t

z ˙ 0 = - ρ m A e 0 = v 0

A = - m ρ v 0

Com isso temos um sistema, que podemos usar para determinar A e B :

A + B = z 0 A = - m ρ v 0

Substituindo a segunda na primeira:

B = z 0 + m v 0 ρ

E com isso podemos escrever a solução geral:

z t = A e - ρ m t + B

z t = - m ρ v 0 e - ρ m t + z 0 + m ρ v 0

É comum chamar γ = ρ / m . Nesse caso:

z t = - 1 γ v 0 e - ρ m t + z 0 + 1 γ v 0

z t = z 0 + v 0 γ 1 - e - γ t

Resposta

A função é z t = z 0 + v 0 γ 1 - e - γ t .

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