As medidas de atividade de uma amostra radioativa com diversos elementos misturados são indicadas na table abaixo. (a) Quantos nucleotídeos diferentes estão presentes na mistura? (b) Quais são suas meias-vidas? (c) Quantos núcleos de cada tipo estão inicialmente presentes na amostra? (d) Quantos núcleos de cada tipo estão presentes para t = 5,0   h ?

Passo 1

(a) Bom pessoal, a gente sabe que a equação que governa esse fenômeno de decaimento é essa aqui:

N t = N 0 e - λ t

Onde a constante de decaimento λ se relaciona com a meia vida T 1 / 2 por essa equação:

λ = ln ⁡ 2 T 1 / 2

Beleza. Então olha o que acontece com aquele equação lá de cima quando a gente aplica o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0   e - λ t

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0 + ln ⁡ e - λ t

E lembrando que ln ⁡ a b   = b ln ⁡ a , então:

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0 - λ t ln ⁡ e

Mas como ln ⁡ e = 1 :

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0 - λ t

Beleza, então a gente pode linearizar a equação pra encontrar uma função que é:

ln ⁡ N t           v s .             t

Que tem que ser uma reta! Já que a equação é do tipo:

Y = A X + B

Onde o nosso coeficiente linear A vai ser a constante de decaimento - λ .

Então vamos fazer essa tabela (vamos precisar de uma calculadora!):

Passo 2

Beleza, agora é hora de pegar um papel milimetrado (ou um computador!) e fazer esse gráfico.

Vamos colocar esses 15 pontos. No eixo x vamos colocar os valores da primeira coluna, e no eixo y vamos colocar os valores da terceira coluna.

O gráfico tem que ficar mais ou menos assim:

Poxa, mas não deveria ser uma linha reta? É aí que entra a nossa tarefa. Pode ser que tenha mais de um elemento sendo registrado aí!

Se você olhar bem para o seu gráfico, vai ver que dá pra separar dois trechos aí em que a curva é muito próxima de uma reta:

Ok, então vamos dizer que temos duas espécies diferentes.

Passo 3

(b) Ok, então vamos calcular os coeficientes lineares em cada um desses trechos, que são as nossas constantes de decaimento.

Olhando para a reta verde primeiro, escolha dois tempos quaisquer, podem ser os da tabela mesmo!

P 1 =   4 h   ,   6,39

P 2 = 12   h ,   3,50

E então o coeficiente angular é:

A = 3,50 - 6,39 12 - 4 = - 0,36   h - 1

E como A = - λ :

λ = 0,36

E então a meia-vida é:

λ = ln ⁡ 2 T 1 / 2         ⇒           T 1 / 2 = ln ⁡ 2 0,36 = 1,93   h

E se você prolongar a reta verde, vai ver que ela toca o eixo y bem perto do 7,8 (não precisa ser muito preciso aqui!). Isso quer dizer que:

ln ⁡ N 0 ≈ 7,8

N 0 = e 7,8 ≅ 2500 / s

Então podemos completar a nossa fórmula:

N t = 2500 e - 0,36   t

Passo 4

Agora a gente quer fazer a mesma coisa para a linha vermelha.

Vamos pegar os pontos que tem a abcissa entre 0   h e mais ou menos 2   h . Olhando a tabela:

P 1 = 0,0   h   ,   7500

P 2 = 2,0   h   ,   1350

Mas vamos tentar remover o efeito da segunda amostra (da linha verde). Pra isso vamos ver quantas contagens a segunda amostra gera nesses dois pontos:

N 0 = 2500 e - 0,36   0 = 2500

N 2,0 = 2500 e - 0,36   2,0 = 1214

Então, subtraindo:

P 1 = 0,0   h   ,   7500 - 2500 = 0,0   h   ,   5000

P 2 = 2,0   h   ,   1350 - 1214 = 2,0   h   ,   135

E tirando os logaritmos:

P 1 = 0,0   h   ,   8,52

P 2 = 2,0   h   ,   4,91

E nesse caso o coeficiente angular é:

A = 4,91 - 8,52 2,0 - 0,0 = - 1,80

E então a constante de decaimento seria:

λ = 1,80

E a meia vida:

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 1,80 = 0,39   h

E como a gente já viu que o número de decaimentos seria 5000 / s em t = 0,0   h , então já dá pra construir nossa equação:

N t = 5000 e - 1,80 t

Passo 5

(c) Tá, agora vem um problema. Quantas amostras estão presentes inicialmente na amostra?

Bom pessoal, uma forma de resolver isso é integrando as equações que a gente achou.

Já que N t dá o número de decaimentos por segundo em uma determinada hora, se a gente multiplicar por 3600   s / h :

3600   N t

Vamos ter uma função aproximada para o número de decaimentos por segundo. Agora é só integrar isso com t indo de t = 0,0   h até t = 12   h .

Começando com a amostra da reta verde:

n 1 = 3600 ∫ 0 12 2500 e - 0,36   t  

n 1 = 3600 2500 1 - 0,36 e - 0,36   12 + 1 0,36 e 0 = 2,4 × 10 7

E para a reta vermelha:

n 2 = 3600 ∫ 0 12 5000 e - 1,80   t  

n 2 = 3600 5000 1 - 1,80 e - 1,80   12 + 1 1,80 e 0 = 1,0 × 10 7

Passo 6

(d) Agora queremos saber quandos núcleos de cada tipo ainda estão presentes quando t = 5,0   h .

É só usar as nossas integrais de novo! Mas dessa vez vamos integrar só a partir de t = 5 h !

Por que isso? Porque assim estamos pegando todos núcleos que ainda estavam “vivos” em t = 5,0   h , e só desapareceram nesse intervalo 5   h ≤ t ≤ 12   h :

A primeira integral fica:

n 1 ' = 3600 ∫ 5 12 2500 e - 0,36   t  

n 1 ' = 3600 2500 1 - 0,36 e - 0,36   5 + 1 0,36 e 0 = 3,8 × 10 6

E a segunda:

n 2 ' = 3600 ∫ 5 12 5000 e - 1,80   t  

n 2 ' = 3600 5000 1 - 1,80 e - 1,80   5 + 1 1,80 e 0 = 1,2 × 10 3

Pronto! Calculamos tudo que foi pedido!

Uma coisa é importante destacar aqui. Nós usamos um método bem simplficado pra calcular os coeficientes das nossas retas lá em cima!

A vantagem desse método é que dá pra fazer sem usar o computador. Só não estranhe se você fizer no computador, com um método mais sofisticado, e achar uma resposta um pouquinho diferente! Mas a nossa resposta já é uma aproximação muito boa!

Resposta

(a) Temos dois nucleotídeos diferentes.

(b) As meias vidas são 1,93   h e 0,39   h .

(c) Inicialmente temos 2,4 × 10 7 núcleos do tipo que tem meia vida mais longa, e 1,0 × 10 7 núcleos do tipo com vida mais curta.

(d) Em t = 5,0   h , o número de núcleos do tipo com vida longa é 3,8 × 10 6 , e do tipo com vida curta é 1,2 × 10 3 .

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