As medidas de atividade de uma amostra radioativa com diversos elementos misturados são indicadas na table abaixo. (a) Quantos nucleotídeos diferentes estão presentes na mistura? (b) Quais são suas meias-vidas? (c) Quantos núcleos de cada tipo estão inicialmente presentes na amostra? (d) Quantos núcleos de cada tipo estão presentes para ?

Beleza, agora é hora de pegar um papel milimetrado (ou um computador!) e fazer esse gráfico.

Vamos colocar esses pontos. No eixo vamos colocar os valores da primeira coluna, e no eixo vamos colocar os valores da terceira coluna.

O gráfico tem que ficar mais ou menos assim:

Poxa, mas não deveria ser uma linha reta? É aí que entra a nossa tarefa. Pode ser que tenha mais de um elemento sendo registrado aí!

Se você olhar bem para o seu gráfico, vai ver que dá pra separar dois trechos aí em que a curva é muito próxima de uma reta:

Ok, então vamos dizer que temos duas espécies diferentes.

(b) Ok, então vamos calcular os coeficientes lineares em cada um desses trechos, que são as nossas constantes de decaimento.

Olhando para a reta verde primeiro, escolha dois tempos quaisquer, podem ser os da tabela mesmo!

E então o coeficiente angular é:

E como :

E então a meia-vida é:

E se você prolongar a reta verde, vai ver que ela toca o eixo bem perto do (não precisa ser muito preciso aqui!). Isso quer dizer que:

Então podemos completar a nossa fórmula:

Agora a gente quer fazer a mesma coisa para a linha vermelha.

Vamos pegar os pontos que tem a abcissa entre e mais ou menos . Olhando a tabela:

Mas vamos tentar remover o efeito da segunda amostra (da linha verde). Pra isso vamos ver quantas contagens a segunda amostra gera nesses dois pontos:

Então, subtraindo:

E tirando os logaritmos:

E nesse caso o coeficiente angular é:

E então a constante de decaimento seria:

E a meia vida:

E como a gente já viu que o número de decaimentos seria em , então já dá pra construir nossa equação:

(c) Tá, agora vem um problema. Quantas amostras estão presentes inicialmente na amostra?

Bom pessoal, uma forma de resolver isso é integrando as equações que a gente achou.

Já que dá o número de decaimentos por segundo em uma determinada hora, se a gente multiplicar por :

Vamos ter uma função aproximada para o número de decaimentos por segundo. Agora é só integrar isso com indo de até .

Começando com a amostra da reta verde:

E para a reta vermelha:

(d) Agora queremos saber quandos núcleos de cada tipo ainda estão presentes quando .

É só usar as nossas integrais de novo! Mas dessa vez vamos integrar só a partir de !

Por que isso? Porque assim estamos pegando todos núcleos que ainda estavam “vivos” em , e só desapareceram nesse intervalo :

A primeira integral fica:

E a segunda:

Pronto! Calculamos tudo que foi pedido!

Uma coisa é importante destacar aqui. Nós usamos um método bem simplficado pra calcular os coeficientes das nossas retas lá em cima!

A vantagem desse método é que dá pra fazer sem usar o computador. Só não estranhe se você fizer no computador, com um método mais sofisticado, e achar uma resposta um pouquinho diferente! Mas a nossa resposta já é uma aproximação muito boa!