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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 1

Mostre que as equações de Maxwell (5.1), (5.2) num meio dielétrico não se alteram pela substituição:

E ' = 1 a B ,       B ' = - a E

Desde que a constante a seja escolhida apropriadamente. Que acontece com o vetor de Poynting S nesse subtituição? E com as densidades de energia U E , U M ?

Passo 1

As equações sugeridas no enunciado são

∇ × B = μ 0 ∂ D ∂ t ,   ∇ × E = - ∂ B ∂ t ,   ∇ ⋅ D = 0 ,   ∇ ⋅ B = 0

E

D = ε 0 E + P = κ ε 0 E

Onde D é o vetor deslocamento, P a densidade de polarização

Outras relações importante são que   E = c B , onde c é a velocidade da luz e que

1 μ 0 ε 0 = c

Passo 2

Vamos aplicar a primeira relação dada no enunciado.

∇ × B = μ 0 ∂ D ∂ t

Assim

∇ × B ' = ∇ × - a E = - a   ∇ × E = - a ∂ B ∂ t

Na qual B = E c = ε 0 c ε 0 E = D c ε 0

Então

∇ × B ' = - a c ε 0 ∂ D ∂ t  

Aparentemente temos que a = μ 0 c ε 0 uma constante escolhida apropriadamente

Passo 3

A segunda, temos

∇ × E = - ∂ B ∂ t

Assim

∇ × E ' = ∇ × - B a = - 1 a ∇ × B = - 1 a μ 0 ∂ D ∂ t

Com D = c ε 0 B temos

E do outro lado

- 1 a μ 0 ∂ D ∂ t = - μ 0 c ε 0 a ∂ B ∂ t

Se nosso a é μ 0 c ε 0

μ 0 c ε 0 a = 1

Ou seja

= - μ 0 c ε 0 a ∂ B ∂ t = - ∂ B ∂ t

Logo nossa segunda relação tbm é valida.

Passo 4

A terceira é

∇ ⋅ D = 0

Então

∇ ⋅ D = ∇ ⋅ ε 0 E

Então

∇ ⋅ ε 0 E ' = ε 0 ∇ ⋅ B a = ε 0 a ∇ ⋅ B = 0

e a quarta função

∇ ⋅ B = 0

Então

∇ ⋅ B ' = ∇ ⋅ - a E = - a ∇ ⋅ E = 0

Passo 5

A ultima é

D = ε 0 E + P = κ ε 0 E

D = κ ε 0 E ' = κ ε 0 B a = κ ε 0 μ 0 c ε 0 B = κ μ 0 c B = κ μ 0 c   E c = κ μ 0 c 2 E

Mas o que é c 2 ?

1 μ 0 ε 0 = c → c 2 = 1 μ 0 ε 0

Ou seja

D = κ μ 0   μ 0 ε 0 E = κ ε 0 E

Ou seja, a substituição E ' = B a com a = μ 0 c ε 0 é valida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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