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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 36

Mostre, explicitamente, que as seguintes funções satisfazem à equação da onda ∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ⋅ ∂ 2 y ∂ t 2 :

(a) y x , t   = k x + v t 3

(b) y x ,   t = A e i k x - v t

(c) y x ,   t = ln ⁡ k x - v t

Passo 1

A estretégia será calcular o termo da esquerda depois o termo da direta e dividi-los, se acharmos que deu 1 / v 2 , então satisfaz!

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ⋅ ∂ 2 y ∂ t 2

Logo,

∂ 2 y ∂ x 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = 1 v 2

Passo 2

(a)   y x , t   = k x + v t 3

Derivando parcialmente duas vezes em relação a x :

∂ y ∂ x = 3 k x + v t 2

Derivando de novo:

∂ 2 y ∂ x 2 = 6 k x + v t

Derivando parcialmente duas vezes em relação a t :

∂ y ∂ t = 3 k v x + v t 2

Derivando novamente:

∂ 2 y ∂ t 2 = 6 k v 2 x + v t

OBS: não esquece da regra da cadeia

Logo,

∂ 2 y ∂ x 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = 6 k x + v t 6 k v 2 x + v t = 1 v 2

Assim, vemos que a função satisfaz a equação de onda.

(b) y x ,   t = A e i k x - v t

Derivando parcialmente duas vezes em relação a x :

∂ y ∂ x = i k A e i k x - v t

Derivando de novo:

∂ 2 y ∂ x 2 = i k 2 A e i k x - v t = - k 2 A e i k x - v t

Derivando parcialmente duas vezes em relação a t :

∂ y ∂ t = - i k v A e i k x - v t

Derivando novamente:

∂ 2 y ∂ t 2 = i k v 2 A e i k x - v t = - k v 2 A e i k x - v t

OBS: não esquece da regra da cadeia

Logo,

∂ 2 y ∂ x 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = - k 2 A e i k x - v t - k v 2 A e i k x - v t = 1 v 2

Assim, vemos que a função satisfaz a equação de onda.

Passo 3

Por ultimo, vamos verificar o item (c).

(c) y x ,   t = ln ⁡ k x - v t

Derivando parcialmente duas vezes em relação a x :

∂ y ∂ x = 1 k ( x - v t ) k = 1 ( x - v t )

Derivando de novo:

∂ 2 y ∂ x 2 = - 1 x - v t 2

Derivando parcialmente duas vezes em relação a t :

∂ y ∂ t = 1 k x - v t - k v = - 1 x - v t v

Derivando novamente:

∂ 2 y ∂ t 2 = - 1 x - v t 2 v 2

OBS: não esquece da regra da cadeia

Logo,

∂ 2 y ∂ x 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = - 1 x - v t 2 - 1 x - v t 2 v 2 = 1 v 2

Assim, vemos que a função satisfaz a equação de onda.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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