1. Mostre que, no modelo de Bohr, a frequência da revolução de um elétron em uma órbita circular estacionária em torno do núcleo do átomo de hidrogênio é dada por f = m e 4 / 4 ϵ 0 2 n 3 h 3 .
  2. Na física clássica, a frequência da revolução de um elétron é igual a frequência da radiação que ele emite. Mostre que, quando n é muito grande, a frequência de revolução é, na verdade, igual à frequência da radiação calculada pela equação h f = h c λ = E i - E f para uma transição do nível n 1 = n + 1 até o nível n 2 = n .

Passo 1

Vamos lá! Podemos começar lembrando que o período orbital é dado por

T n = 2 π r n ν n

onde

2 π r n = 2 ϵ 0 n 2 h 2 m e 2 ;

ν n = 1 ϵ 0 e 2 2 n h .

Portanto,

T n = 4 ϵ 0 2 n 3 h 3 m e 4 .

Passo 2

Como a frequência de revolução é

f = 1 T n = m e 4 4 ϵ 0 2 n 3 h 3 .

Passo 3

Para o item (b), podemos escrever que

f = m e 4 8 ϵ 0 2 h 3 1 n 2 2 - 1 n 1 2 ,

Onde n 1 e n 2 foram dados no enunciado. Portanto, substituindo as informações dadas no enunciado, temos

1 n 2 2 - 1 n 1 2 = 1 n 2 - 1 n + 1 2 = 1 n 2 1 - 1 1 + 1 n 2

Podemos expandir a expressão acima, obtendo

1 n 2 2 - 1 n 1 2 = 1 n 2 1 - 1 - 2 n + … = 2 n 3 .

Passo 4

Para valores de n grandes, podemos escrever que

f = m e 4 4 ϵ 0 2 n 3 h 3 .

Resposta

a )     f = m e 4 4 ϵ 0 2 n 3 h 3 .

b )   f = m e 4 4 ϵ 0 2 n 3 h 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados