Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 17
Mostre que se pode obter o efeito Doppler a partir da transformação de Galileu. (a) Considere primeiro uma onda sonora harmônica em um dimensão, para uma fonte sonora em repouso no meio, de frequência Escreva a expressão da onda num ponto no instante , no referencial do meio. Considere agora um observador que se desloca com velocidade em relação a , na direção . Relacione com a coordenada do observador, no referencial que se desloca com ele. Substitua na expressão da onda e interprete o resultado. (b) Considere agora o caso em que o observador se move com velocidade numa direção qualquer. Generalize o resultado de (a), usando a transformação de Galileu geral, e mostre que se obtém a mesma expressão para o efeito Doppler encontrada no Problema 16. Parta da seguinte expressão geral para uma onda plana:
Passo 1
(a) Vamos começar considerando uma onda que se move apenas na direção . Nesse caso:
E se a velocidade do som no referencial é , então:
A expressão geral vai ser a seguinte:
Beleza, essa expressão descrever a onda sonora no referencial .
Passo 2
No referencial , a histórica fica um pouco diferente.
O observador de está se movendo com velocidade em relação a , e na direção em relação ao eixo .
Pela transformação de Galileu, temos a seguinte relação:
Então a expressão para a onda sonora de acordo com esse observador é:
E usando o fato de que , podemos deixar essa equação na forma geral da onda plana:
Ou seja, para o observador em a onda se comporta como se tivesse a seguinte frequência angular:
Passo 3
Agora vamos lembrar da relação entre a frequência angular e a frequência de oscilação :
E então:
Que é exatamente a fórmula para o efeito Doppler no caso em que temos uma fonte parada e um observador se aproximando.
Passo 4
(b) Agora vamos considerar um caso que não é necessariamente unidensional.
Aqui, a nossa transformação de Galileu vai ter a seguinte forma:
Vamos supôr que a equação geral da onda é:
Então no novo referencial:
E o produto escalar entre (que é a direção de propagação da onda) e (que é a direção de movimento do observador) é:
Substituindo isso na expressão:
E substituindo :
E então a frequência observada é:
Passando da frequência angular para a frequência de oscilação :
Que é exatamente a expressão que encontramos no problema 16 (conforme o enunciado pediu).
Resposta
(a) A expressão da onda no novo referencial fica . O que implica na expressão para o efeito Doppler com uma fonte parada e um observador em movimento com velocidade na direção .
(b) Para o caso geral, temos .