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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 12

Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidades de mesma magnitude. Um deles vem apitando. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 348   H z , quando estão se aproximando, e 259   H z quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 340   m / s . (a) Qual é a velocidade dos trens (em k m / h )? (b) Qual é a frequência do apito?

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para a frequência observada quando ocorre efeito Doppler:

f ' = f 0 v s ± v o b s v s ± v f

Onde v s é a velocidade do som, v o b s é a velocidade do observador e v f é a velocidade da fonte.

Como os dois trens estão se movendo com a mesma velocidade v (em sentidos opostos), temos:

v o b s = v f = v

f ' = f 0 v s ± v v s ± v

Durante a aproximação, a frequência observada f + deve ser maior do que f 0 . Podemos ajustar os sinais de forma a garantir isso:

f + > f 0       ⇒       f + =   f 0 v s + v v s - v

E durante o afastamento, a frequência observada f - deve ser menor do que f 0 . Então:

f - < f 0       ⇒       f - =   f 0 v s - v v s + v

Passo 2

O enunciado diz que f + = 348   H z e f - = 259   H z . Queremos usar isso para calcular v .

Vamos começar fazendo a razão r = 348 259 das duas frequências:

r = f + f - = f 0 v s + v v s - v f 0 v s - v v s + v

r = v s + v 2 v s - v 2

Então:

v s + v = r v s - v

E podemos resolver para encontrar v :

v 1 + r = v s r - 1

v = v s r - 1 1 + r

E substituindo os valores numéricos:

v = 340   348 259 - 1 1 + 348 259

v = 25   m / s

Convertendo para quilômetros por hora:

v = 25 3,6 = 90   k m / h

Passo 3

(b) A frequência do apito é aquele f 0 que apareceu nas fórmulas de cima.

Agora que sabemos a velocidade dos trens, podemos pegar qualquer uma das equações para determinar f 0 :

f + =   f 0 v s + v v s - v

348 = f 0 340 + 25 340 - 25

348 = f 0 1,1587

f 0 = 300   H z

Resposta

(a) A velocidade dos trens é 90   k m / h . (b) A frequência do apito é f 0 = 300   H z .

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