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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 11

a) Mostre que os potenciais vetores A → = - B y   i ^ e A → ' = B x   j ^ geram o mesmo campo magnético.

b) Determine a função escalar ψ tal que ∇ ψ = A → ' - A → .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse é um exercício bem interessante para gente brincar um pouco com o potencial vetor. Sabemos que o campo magnético é dado por

B → = ∇ × A →

Para o primeiro caso temos

B → = ∇ × A → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z A x A y A z = i ^ j ^ k ^ 0 ∂ y 0 - B y 0 0

Com isso, achamos

B → = B   k ^

Analogamente para o segundo caso:

B → ' = ∇ × A → ' = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z A x ' A y ' A z ' = i ^ j ^ k ^ ∂ x 0 0 0 B x 0

Assim,

B → ' = B   k ^

Vemos que os campos são iguais:

B → = B → '

Passo 2

No item (b) queremos achar a função escalar ψ que satisfaz

∇ ψ = A → ' - A → = B x   j ^ - - B y   i ^ = B   y   i ^ + x   j ^

Sabemos que o gradiente de uma função é dado por

∇ ψ = ∂ ψ ∂ x i ^ + ∂ ψ ∂ y j ^ + ∂ ψ ∂ z k ^

Com isso,

∂ ψ ∂ x i ^ + ∂ ψ ∂ y j ^ + ∂ ψ ∂ z k ^ = B y   i ^ + B x   j ^ + 0   k ^

Assim,

∂ ψ ∂ x = B y ∂ ψ ∂ y = B x ∂ ψ ∂ z = 0

Logo, podemos perceber que a solução desse sistema é

ψ = B x y + c o n s t a n t e

Ele não depende de z , derivando com relação a x achamos B y e derivando com relação a y encontramos B x . Problema resolvido 😉.

Resposta

B → = B → '

ψ = B x y + c o n s t a n t e

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