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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 38.6 - Ex. 65

(a) Seja n = a + i b um número complexo, onde a e b são números reais. Mostre que o produto n n * é um número real positivo. (b) Seja m = c + i d outro número complexo. Mostre que n m = n ⋅ | m | .

Passo 1

Essa é uma questão que não tem nada a ver com física, é de matemática! No item (a), temos que mostrar qye n n * é real e positivo:

n n * = a + i b ⋅ ( a - i b )

Logo, fazendo a distributiva:

n n * = a 2 - i a b + i a b - i 2 b 2 = a 2 - i 2 b 2

Como i 2 = - 1 :

n n * = a 2 + b 2 ≥ 0

Passo 2

No item (b) temos que mostrar que n m = n ⋅ | m | . Primeiro vamos achar n m :

n m = a + i b ⋅ c + i d = a c + i a d + i b c + i 2 b d

Logo,

n m = a c - b d + i   ( a d + b c )

Portanto,

n m 2 = a c - b d 2 + a d + b c 2

Desenvolvendo os termos:

n m 2 = a 2 c 2 - 2 a b c d + b 2 d 2 + a 2 d 2 + 2 a b c d + b 2 c 2 = a 2 c 2 + d 2 + b 2 ( c 2 + d 2 )

Portanto,

n m 2 = a 2 + b 2 ⋅ ( c 2 + d 2 )

Mas sabemos que n 2 = a 2 + b 2 e m 2 = c 2 + d 2 :

n m 2 = n 2 m 2

Portanto,

n m = n   m

Resposta

Demonstração.

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