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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 36.Problemas Adicionais - Ex. 105

Mostre que uma rede de difração feita de faixas alternadas transparentes e opacas de mesma largura elimina todos os máximos de ordem par, exceto o máximo central.

Passo 1

E aí meus caros(as)! A moda agora é a questão 105!

Bom! Temos aqui uma questão sobre intensidade de luz difratada em uma fenda!

Para isso, vamos nos concentrar nas duas equações abaixo...

I θ = I m sen ⁡ α α 2

α = π a λ sen ⁡ θ

Como todas as faixas tem a mesma largura, isso implica que...

d = a

E assim, temos a figura de difração de uma fenda de largura 2 a ! Vamos então, substituir essa relação acima nas duas equações anteriores... O ângulo α vai ser dado por...

α = 2 a π sen ⁡ θ λ

Sendo assim, ficamos com...

I θ = I m sen ⁡ α α 2

I θ = I m sen ⁡ 2 a π sen ⁡ θ λ 2 a π sen ⁡ θ λ 2

Ou seja, por essa equação, podemos ver que todos os máximos de ordem par são eliminados!

Passo 2

No caso de fendas iguais, de largura a , cujos centros estão separados por uma distância d , a intensidade da luz varia com o ângulo em relação ao eixo central, de acordo com a equação abaixo...

I θ = I m ( cos 2 ⁡ β ) sen ⁡ α α 2

Onde β é dado por...

β = π d λ sen ⁡ θ

E α nós já sabemos que é expresso como...

α = π a λ sen ⁡ θ

Só que como d = α , então...

β = α = π a λ sen ⁡ θ

E assim, a equação de intensidade passa a ter a seguinte cara...

I θ = I m cos 2 ⁡ π a λ sen ⁡ θ sen ⁡ π a λ sen ⁡ θ π a λ sen ⁡ θ 2

I θ = I m cos ⁡ π a λ sen ⁡ θ ⋅ sen ⁡ π a λ sen ⁡ θ π a λ sen ⁡ θ 2

Multiplicando o numerador e o denominador por 2 e utilizando a identidade trigonométrica s e n 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ;

I θ = I m cos ⁡ π a λ sen ⁡ θ ⋅ sen ⁡ π a λ sen ⁡ θ π a λ sen ⁡ θ 2

I θ = I m 2 ⋅ cos ⁡ π a λ sen ⁡ θ ⋅ sen ⁡ π a λ sen ⁡ θ 2 ⋅ π a λ sen ⁡ θ 2

Obtemos uma equação igual à anterior...

I θ = I m sen ⁡ 2 a π sen ⁡ θ λ 2 a π sen ⁡ θ λ 2

Ou seja, os máximos de ordem também vão se dar mal!

Bora pra frente que trás vem gente!

em que q é a posição angular da linha associada ao comprimen

Resposta

I θ = I m sen ⁡ 2 a π sen ⁡ θ λ 2 a π sen ⁡ θ λ 2

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