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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 33.1 - Ex. 74

Neste problema, você deduzirá a relação R = λ ∆ λ = m N (Equação 33-27) para o poder de resolução de uma rede de difração tendo N fendas separadas por uma distância d . Para fazer isso, você calculará a separação angular entre o máximo de intensidade e o mínimo de intensidade para algum comprimento de onda λ e igualará à separação angular do máximo de ordem m para dois comprimentos de onda próximos. (a) Primeiro mostre que a diferença de fase ϕ entre as ondas de duas fendas adjacentes é dada por ϕ = 2 π d λ sin ⁡ θ . (b) Depois, diferencie esta expressão para mostrar que uma pequena variação no ângulo d θ resulta em uma variação na fase d ϕ dada por d ϕ = 2 π d λ cos ⁡ θ   d θ . (c) Então, para N fendas, a separação angular entre um máximo de interferência e um mínimo de interferência corresponde a uma variação de fase de d ϕ = 2 π N . Use isso para mostrar que a separação angular d θ entre o máximo de intensidade e o mínimo de intensidade para algum comprimento de onda λ é dado por d θ = λ N d cos ⁡ θ . (d) Depois, use o fato que o ângulo entre o m-ésimo máximo de interferência para o comprimento de onda λ é especificado por d sin ⁡ θ = m λ (Equação 33-26). Calcule a diferencial de cada lado da equação para mostrar que a separação angular entre o m-ésimo máximo para dois comprimentos de onda aproximadamente iguais diferindo por d λ é dado por d θ = m   d λ d cos ⁡ θ ; (e) De acordo com o critério de Rayleigh, dois comprimentos de onda serão resolvidos na ordem m se a separação angular entre os comprimentos de onda, dados pelo resultado da Parte (d), é igual à separação anular do máximo de interferência e do mínimo de interferência dada pelo resultado na Parte (c). Use isto para chegar a R = λ ∆ λ = m N (Equação 33-27) para o poder de resolução de uma rede.

Passo 1

SEGUINTE NOBRE GAFANHOTO, discípulo do shifu! Só precisaremos seguir o procedimento que foi descrito no enunciado da questão, então colaemmim que é sucesso, SIMBORA!

Passo 2

Primeiramente, expressaremos a relação entre a diferença de fase ϕ e a diferença de caminho ∆ r :

ϕ 2 π = ∆ r λ

ϕ = ∆ r   2 π λ

Já que ∆ r = d sin ⁡ θ , temos:

ϕ = 2 π d λ sin ⁡ θ

Ainda seguindo os passos, iremos agora para o passo (b), diferenciaremos a expressão anterior em respeito à θ , para obter:

d ϕ d θ = d d θ 2 π d λ sin ⁡ θ

d ϕ d θ = 2 π d λ cos ⁡ θ

Resolvendo para d ϕ , temos:

d ϕ = 2 π d λ cos ⁡ θ   d θ

Agora para o passo (c), da expressão anterior obtemos:

d ϕ λ = 2 π d cos ⁡ θ   d θ

d ϕ λ 2 π d cos ⁡ θ =   d θ

Aplicando d ϕ = 2 π N :

d θ = 2 π N λ 2 π d cos ⁡ θ

d θ = 2 π N   2 π d cos ⁡ θ λ

d θ = λ N   d cos ⁡ θ (1)

Parte (d) nos pede para derivar a Equação 33-26 em respeito à λ , E É O QUE FAREMOS:

d d λ d sin ⁡ θ = d d λ [ m λ ]

d cos ⁡ θ d θ d λ = m

Resolvendo para d θ , temos:

d θ = m d λ d cos ⁡ θ (2)

POR ÚLTIMO, igualaremos as expressões (1) e (2):

λ N   d cos ⁡ θ = m d λ d cos ⁡ θ  

Aproximando d λ de Δ λ e permitindo a possibilidade de ∆ λ < 0 , temos:

λ N   d cos ⁡ θ = m | Δ λ | d cos ⁡ θ  

λ N   = m | Δ λ | d cos ⁡ θ d cos ⁡ θ  

λ N   = m Δ λ  

Resolvendo para R = λ Δ λ     :

R = λ Δ λ   = m N  

YEAAH, menos uma, é isso aí, BORA CONTINUAR NOS ESTUDOS, até a próxima.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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