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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 28.1 - Ex. 69

No circuito mostrado na Figura 28-54, seja ε 0 = 12,0   V , R = 3,00   Ω e L = 0,600   H . A chave é fechada no instante t = 0 . Durante o tempo desde t = 0 até t = L / R , determine:

a) A quantidade de energia fornecida pela bateria.

b) A quantidade de energia dissipada no resistor.

c) A quantidade de energia entregue ao indutor.

Dica: Determine as taxas de transferência de energia como funções do tempo e integre.

Passo 1

Meus caros:

Para encontrar a quantidade de energia fornecida pela bateria: vamos integrar d E d t = ε 0 I , onde I = I F 1 - e - t T .

Para encontrar a quantidade de energia dissipada no resistor: vamos integrar d E J d t = I 2 R .

Para encontrar a energia entregue ao indutor: vamos usar U L T = 1 2 L I T 2 quando t = L / R .

Passo 2

Vamos dar início ao item a):

d E d t = ε 0 I ; E q . 1

Onde:

I = I F 1 - e - t T

Sendo:

I F = ε 0 R

Então:

I = ε 0 R 1 - e - t T ; E q . 2

Vamos aplicar a Eq. 2 na Eq. 1:

d E d t = ε 0 2 R 1 - e - t T

d E = ε 0 2 R 1 - e - t T d t

Integrando de t = 0 até t = T = L/R:

E = ε 0 2 R ∫ 0 T 1 - e - t T d t

E = ε 0 2 R T - - T e - 1 + T

E = ε 0 2 R ∙ T e

Onde:

T = L R

Por fim:

E = ε 0 2 L R 2 ∙ e

Só precisamos aplicar os valores fornecidos pela questão:

E = 12.0   V 2 0.600   H 3.00   Ω 2 ∙ e

E ≅ 3.53   J

Passo 3

Agora, após termos descrito anteriormente:

d E J d t = I 2 R

Mas, quem é I ?

I = ε 0 R 1 - e - t T

Retornando a equação:

d E J d t = ε 0 R 1 - e - t T 2 R

d E J d t = ε 0 2 R 1 - 2 e - t T + e - 2 t T

d E J = ε 0 2 R 1 - 2 e - t T + e - 2 t T d t

Integrando de t = 0 até t = L/R:

E J = ∫ 0 L / R ε 0 2 R 1 - 2 e - t T + e - 2 t T d t

E J = ε 0 2 R 2 L R e - L R 2 - L R 2 e 2

E J = ε 0 2 L R 2 2 e - 1 2 - 1 2 e 2

Só precisamos aplicar os valores fornecidos pela questão:

E J = 12.0   V 2 ( 0.600   H ) 3.00   Ω 2 2 e - 1 2 - 1 2 e 2

E J ≅ 1.61   J

Passo 4

Por fim, amigos, o item c) que é mais simples que os itens a) e b):

U L T = 1 2 L I T 2

Quando T = L / R .

Então:

U L L R = 1 2 L I L R 2

Mas, quem é I L R ?

I ( t ) = ε 0 R 1 - e - t T

I L R = ε 0 R 1 - e - L R T

Sendo T = L R :

I L R = ε 0 R 1 - e - 1

Seguimos:

U L L R = 1 2 L ε 0 R 1 - e - 1 2

U L L R = L ε 0 2 2 R 2 1 - e - 1 2

Aplicando os valores fornecidos:

U L L R = 0.600   H 12.0   V 2 2 ∙ 3.00   Ω 2 1 - e - 1 2

U L ≅ 1.92   J

Resposta

a )   E ≅ 3.53   J

b )   E J ≅ 1.61   J

c )   U L ≅ 1.92   J

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