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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 63

Um satélite orbitando a Terra tem velocidade de 5,5 km/s quando sua distância ao centro da Terra é de 11.000 km.

a. O satélite está em uma órbita circular?

b. O satélite está em uma órbita ligada?

Passo 1

Como podemos saber (por considerações energéticas) se o satélite está orbitando a Terra em uma trajetória circular? Vamos pensar um pouco. Sabemos que a velocidade do satélite é dada pela expressão:

v = G M r

onde M é a massa da Terra, r é a distância entre o satélite e o centro da Terra. Portanto, a energia cinética do satélite será dada por:

K = 1 2 m v 2 K = 1 2 m G M r K = 1 2 G M m r G M m r = 2 K

Porém, sabemos que a energia potencial entre o satélite e a Terra é dada por:

U = - G m M r Porém, vimos que G M m r = 2 K . Logo,

U = - 2 K

Portanto, temos o importante resultado:

  • Para que o satélite esteja percorrendo uma trajetória circular, a sua energia potencial deve ser duas vezes o negativo da energia cinética!!

Se a relação U = - 2 K for satisfeita, então o corpo estará em uma órbita circular. Caso essa relação não for satisfeita, então o corpo poderá estar em uma órbita elíptica, parabólica ou uma hipérbole.

Uma trajetória é dita ligada quando a soma da energia potencial com a energia cinética for menor do que zero!

U + K < 0 ⟹ t r a j e t ó r i a   l i g a d a

Passo 2

  1. Temos que

    2. K = 1 2 m v 2 K = 1 2 m 5,5 × 10 3 2 K = 1,5125 × 10 7 m Logo, 2 K = 3,025 × 10 7 m .

    Observe que não conhecemos o valor de m!

    U = - G m M r U = - 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 m 11.000 × 10 3 U = - 3,626 × 10 7 m

    Como

    U ≠ - 2 K

    segue que a trajetória não é circular!!

    Passo 3

  2. Vamos calcular U + K :

U + K = - 3,626 × 10 7 m + 1,52125 × 10 7 m U + K = - 6,01 × 10 6 m

Portanto, U + K < 0 !! Logo, a órbita é ligada.

Resposta

  1. Não.
  2. Sim.
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