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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 62

Uma nave espacial encontra-se em uma órbita circular de raio r 0 em torno de um planeta de massa M. Um breve, porém intenso disparo de seu motor frontal diminui a velocidade da nave em 50%. Isso faz com que ela passe a descrever uma órbita elíptica. a. Qual é o valor da nova velocidade da espaçonave logo após o desligamento do foguete, em função de M, G e r 0 ? b. Em função de r 0 , qual é a distância mínima, e máxima, da espaçonave, em relação ao planeta, em sua nova órbita?

Passo 1

O esquema abaixo representa a situação descrita no enunciado.

Inicialmente, a nave se encontra em uma trajetória circular de raio r 0 . Assim, a força gravitacional será uma componente centrípeta! Usando esse fato, poderemos calcular a velocidade v 0 .

Logo após a diminuição da velocidade da nave, ela passará a percorrer uma trajetória elíptica (como mostrado na figura), com o planeta sendo um dos focos da elipse. Note que a velocidade começa ao aumentar quando a nave vai se aproximando do planeta. Logo, o ponto onde ela estava inicialmente é o afélio (ponto da órbita elíptica mais afastado do planeta, que também é o ponto onde a nave possui a menor velocidade). O ponto de máxima aproximação, é o periélio. Podemos utilizar a conservação do momento angular entre o afélio e o periélio para escrever:

L a f é l i o = L p e r i é l i o m v 0 r 0 = m v r v 0 r 0 = v r

Essa última relação, juntamente com a conservação da energia mecânica, será muito útil na resolução do item b.

Passo 2

  1. Como dito no Passo 1, a força gravitacional será a componente centrípeta. Logo,

    2. m u 2 r 0 = G m M r 0 2 u = G M r 0

    Essa é a velocidade que a nave tinha na trajetória circular!! Pelo enunciado, temos que

    v 0 = 50 %   d e   u v 0 = 1 2 u v 0 = 1 2 G M r 0

    Passo 3

  2. A distância máxima, como vimos no Passo 1, é o próprio r 0 .

Para calcularmos a distância mínima, temos:

  • v 0 r 0 = v r ∴ v = v 0 r 0 / r ;
  • Conservação da energia:

K a f é l i o + U a f é l i o = K p e r i é l i o + U p e r i é l i o 1 2 m v 0 2 - G m M r 0 = 1 2 m v 2 - G m M r G M r - G M r 0 = 1 2 v 2 - v 0 2 G M 1 r - 1 r 0 = 1 2 v 0 2 r 0 2 r 2 - v 0 2 G M r 0 - r r r 0 = 1 2 v 0 2 r 0 2 - r 2 r 2 G M r 0 - r r 0 = 1 2 v 0 2 r 0 - r r 0 + r r G M r 0 = 1 2 v 0 2 ⋅ r 0 + r r

Substituindo o valor de v 0 , temos

G M r 0 = 1 2 1 4 ⋅ G M r 0 ⋅ r 0 + r r 8 = r 0 + r r 8 r = r 0 + r 7 r = r 0 r = r 0 7

Portanto, a distância mínima valerá r 0 / 7 .

Resposta

  1. 1 2 G M r 0 .
  2. r 0 7 .
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