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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Exercício - Ex. 31

31- Oscilações L - C . Um capacitor com capacitância igual a 6.0 × 10 - 5   F é carregado conectando-o uma bateria de 12.0   V . A seguir, o capacitor é desconectado da bateria e conectado a um indutor com L = 1.50   H .

( a ) Calcule a frequência angular ω das oscilações elétricas e o período dessas oscilações (o tempo de uma oscilação)

( b ) Qual é a carga inicial do capacitor?

( c ) Qual é a energia inicial armazenada no capacitor?

( d ) Qual é a carga do capacitor 0.0230   s depois de ele ser ligado ao indutor? Interprete o sinal de sua resposta.

( e ) No instante dado no item ( d ) , qual é a corrente no indutor? Interprete o sinal de sua resposta.

( f ) No instante dado no item ( d ) , qual é a energia elétrica armazenada no capacitor e qual é a energia armazenada no indutor?

Passo 1

A frequência de oscilação de um circuito L C é encontrada quando a reatância do capacitor é a mesma do indutor, e que é:

ω L = 1 ω C

ω = 1 L C = 1 1.5 × 6 × 10 - 5 = 105.41   r a d / s

E o período de oscilação será:

ω = 2 π T → T = 2 π ω = 2 π 105.41 = 0.0596   s

Passo 2

A carga do indutor será:

Q = C V = 6 × 10 - 5 ⋅ 12 = 7.2 × 10 - 4   C

Com isso podemos calcular a energia no capacitor de forma:

U = Q 2 2 C = C V 2 2 = 4.32 × 10 - 3   J

Passo 3

A carga no capacitor no domínio do tempo é calculada por:

q = Q c o s   ( ω t )

E como temos Q , ω então basta calcular em t = 0.023   s teremos:

q = 7.2 × 10 - 4 cos ⁡ 105.41 × 0.023 = - 5.43 × 10 - 4   C

O sinal negativo significa que o capacitor descarregou completamente e está se enchendo (pela placa negativa) com a carga vindo pelo indutor e o tempo vai passando e essa carga vai passando para a placa positiva (nessa situação as cargas nas placas estão com sinal contrário).

Agora a corrente será dada por:

i = - ω Q s i n   ( ω t )

i = - 105.41 × 7.2 × 10 - 4 sin ⁡ 105.41 × 0.023 = - 0.05   A

Sempre usem radianos para calcular essas variáveis.

O sinal negativo na corrente diz que a corrente está entrando na placa negativa do capacitor (não que tenha polaridade o capacitor em um circuito L C mas temos que definir uma placa de sentido positiva para definir quando a carga será máxima e positiva), tal como a figura 30.15 nos mostra.

Passo 4

A energia no capacitor será:

U c a p = q 2 2 C = - 5.43 × 10 - 4   2 2 × 6.0 × 10 - 5 = 2.46   m J

E a carga no indutor será:

U i n d = 4.32 × 10 - 3 - 2.46 × 10 - 3 = 1.86 × 10 - 3   J = L i 2 2

Resposta

a )   ω = 105.41 r a d s ; T = 0.0596   s

b )   Q = 7.2 × 10 - 4   C

c )   U t o t a l = 4.32 × 10 - 3   J

d ) q = - 5.43 × 10 - 4   C  

e )   i = - 0.05   A

f )   U i n d = 1.86 × 10 - 3 J ; U c a p = 2.46 × 10 - 3 J

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