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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 34.1 - Ex. 43

Uma partícula está no estado fundamental de uma caixa unidimensional com comprimento L. (A caixa tem uma extremidade na origem e a outra extremidade no eixo x positivo.) Determine a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo de comprimento Δx = 0,002L e centrado em (a) 14 x = L, (b) x = 12 L e (c) x = 34 L. (Como Δx é muito pequeno, você não precisa fazer nenhuma integração.)

Passo 1

Vamos lá! A probabilidade de encontrar a partícula em algum intervalo d x é P = P x d x = ψ 2 x d x . Só que o intervalo ∆ x = 0,002 L é tão pequeno que podemos desconsiderar a variação em ψ ( x ) e, apenas, calcular ψ 2 ∆ x para cada um dos casos. Ou seja, como o enunciado diz, não precisaremos integrar!!

Além disso, a função de onda do nível fundamental é:

ψ 1 ( x ) = 2 L s e n π x L

Assim, a probabilidade será:

P = 2 L s e n π x L 2 ∆ x

P = 2 L s e n 2 π x L 0,002 L

∴

P = 0,004 s e n 2 π x L

Passo 2

(a) Agora, é só a gente substituir x = 4 L e ver qual é a probabilidade:

P ( 4 L ) = 0,004 s e n 2 π 4 L L

P 4 L = 0,004 s e n 2 4 π

P 4 L = 0,004 0 2

∴

P ( 4 L ) = 0

Passo 3

(b) Para x = L / 2 :

P L 2 = 0,004 s e n 2 π L 2 L

P L 2 = 0,004 s e n 2 π 2

P L 2 = 0,004 1 2

∴

P L 2 = 0,004

Passo 4

(c) Para x = 3 L / 4 :

P 3 L 4 = 0,004 s e n 2 π 3 L 4 L

P 3 L 4 = 0,004 s e n 2 3 π 4

P 3 L 4 = 0,004 2 2 2

P 3 L 4 = 0,004 2 4

∴

P 3 L 4 = 0,002

Resposta

(a) 0

(b) 0,004

(c) 0,002

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