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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 5

Uma partícula de massa m desloca-se com velocidade v em direção a duas outras idênticas, de alinhadas com ela, inicialmente separadas e em repouso (veja fig.). As colisões entre as partículas são todas elásticas. (a) Mostre que, para m ≤ m '   haverá duas colisões, e calcule as velocidades finais das três partículas. (b) Mostre que, para m > m ' , haverá três colisões, e calcule as velocidades finais das três partículas. (c) Verifique que, no caso (a), o resultado para a primeira e a terceira partícula é o mesmo que se a partícula intermediária não existisse.

Passo 1

  1. As velocidades finais de uma colisão elástica são

    2. m 1 v f 1 = m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1 + m 1 2 m 2 m 1 + m 2 v i 2  

    m 2 v f 2   = m 2 m 2 - m 1 m 1 + m 2 v i 2 + m 2 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1  

    Como nas nossas colisões v i 2 é sempre 0 já que o alvo está parado fica assim

    m 1 v f 1 = m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2     v i 1               ( 1 )

    m 2 v f 2 = m 2 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1               ( 2 )

    Observações :

    1. A partir de agora vamos usar ( 1 ) para calcular a velocidade final do projétil e ( 2 ) para calcular velocidade final do alvo, só pra gente não se confundir no meio das contas;

    2. Exemplo : v f 1 1 é a velocidade final da bola 1 após a colisão (1) , v f 1 2   é a velocidade final da bola 1 após a colisão (2) e assim por diante, fechou? Bora lá.

  • Vamos observar o que acontece se m < m '

    • m 1 v f 1 ( 1 ) = m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1 ( 1 )

    Aqui vamos ter um número negativo multiplicando o momento da partícula, ou seja

    m 1 v f 1 ( 1 ) =   - k m 1 v i 1 ( 1 )

    Aproveitando pra calcular a velocidade final temos

    v f 1 ( 1 ) = m - m 2 m + m 2 v i 1 ( 1 )   ≤ 0

    A primeira partícula que vinha em um sentido agora o inverte de modo que não vai colidir de novo com a partícula 2.

  • Agora vamos usar a expressão (1) pra saber o que vai acontecer na colisão 2, que é a entre m 2 e m 3

    • m 2 v f 2 ( 2 ) = m 2 m 2 - m 3 m 2 + m 3 v i 2 ( 2 )

    Nessa colisão m 2 = m 3 e por isso

    m 2 v f 2 ( 2 ) = m 2 m 2 - m 2 m 2 + m 2 v i 2 ( 2 )

    = 0  

    Concluímos então que

    v f 2 ( 2 ) = 0

    Ou seja, a bolinha intermediária fica parada no choque! Então necessariamente só há 2 colisões já que a primeira bola vai pra lá

    Pra calcular a velocidade v f 3 ( 2 ) de novo bora usar (2). Saca só

    m 3 v f 3 ( 2 ) = m 3 2 m 2 m 3 + m 2 v i 2 ( 2 )

    = m 2 2 m 2 2 m 2 v i 2 ( 2 )

    = m 2 v i 2 ( 2 )

    →

    v f 3 ( 2 ) = v i 2 ( 2 )

    Wow, a bolinha 3 fica com a velocida final igual à velocidade que a bolinha 2 pegou na colisão 1, lembrando que   v i 2 ( 2 ) = v f 2 ( 1 ) . Então é como se a bola do meio não existisse, por que a terceira bola pega exatamente a mesma velocidade final que pegaria se fosse só uma colisão dupla, show! Já provamos nossa letra c)

  • Pra calcular v f 2 ( 1 )   usaremos (2) de novo, lembrando que a partícula 2 nesse caso é alvo

    • m 2 v f 2 ( 1 ) = m 2 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1 ( 1 )

    →

    v f 2 ( 1 )   = 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1 ( 1 )

    Juntando as 2 fórmulas descobrimos que

    v f 3 ( 2 ) = 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1 ( 1 )

    Passo 2

  • Recapitulando a velocidade final da bola 1

    • v f 1 ( 1 ) = m - m 2 m + m 2 v i 1 ( 1 )

    (Nesse caso v f 1 ( 1 ) > 0 )

  • Recapitulando a velocidade final da bola 2

v f 2 ( 1 )   = 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1 ( 1 )

Ok, nesse momento podemos garantir que a bola 1 não vai colidir de novo com a bola 2 porque a velocidade de 2 é bem maior que a de 1. ( Mas 1 continua indo para frente e futuramente quem sabe o que vai rolar? Rs )

Quando ocorrer a colisão da bola 2 com a 3 já vimos que a velocidade final de 2 vai ser 0... Opa, então com certeza a bola 1 vai atingir a 2 depois disso, show! A velocidade de 3 vai ser a mesma do problema anterior, dado por

v f 3 ( 2 ) = 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1 ( 1 )

Agora é só calcular as duas velocidades finais da terceira colisão utilizando exatamente as mesmas fórmulas de antes, moleza né?

m 1 v f 1 ( 3 ) = m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1 ( 3 )

O detalhe só é que v i 1 ( 3 ) é v f 1 ( 1 ) = m - m 2 m + m 2 v i 1 ( 1 ) . Bora substituir

= m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2     . m - m 2 m + m 2 v i 1 ( 1 )

= m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2 2 v i 1 ( 1 )

→

v f 1 ( 3 ) = m 1 - m 2 m 1 + m 2 2 v i 1 ( 1 )

m 2 v f 2 ( 3 ) = m 2 m 2 - m 2 m 2 + m 2 v i 2 ( 3 )

= m 2 2 m 1 m 2 + m 1 . m - m 2 m + m 2 v i 1 ( 1 )

m 2 2 m 1 ( m 1 - m 2 ) m 2 + m 1 2 v i 1 1

→

v f 2 3 = 2 m 1 ( m 1 - m 2 ) m 2 + m 1 2 v i 1 1

Última coisa ( prometo! ) : pra garantir que só hajam 3 colisões as velocidades finais da bola 1 e 2 após a terceira colisão não podem ser maiores que a velocidade final da bola 3

Vamos reescrever a velocidade final da bola 3 e comparar com essas que achamos agora

v f 3 ( 2 ) = 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1 ( 1 )

= 2 m 1 ( m 2 + m 1 ) m 2 + m 1 2     v i 1 ( 1 )

Legal, então se olharmos para as 3 fórmulas

v f 3 ( 2 ) > v f 2 3 > v f 1 ( 3 )

Ae, finalmente conseguimos! Bora treinar mais?

Resposta

a )  

v f 1 ( 1 ) = m - m 2 m + m 2 v i 1 ( 1 )   ≤ 0

v f 2 ( 2 ) = 0

v f 3 ( 2 ) = 2 m 1 m 2 + m 1 v i 1 ( 1 )

b )  

v f 1 ( 3 ) = m 1 - m 2 m 1 + m 2 2 v i 1 ( 1 )

v f 3 ( 2 ) = 2 m 1 ( m 2 + m 1 ) m 2 + m 1 2     v i 1 ( 1 )

v f 2 3 = 2 m 1 ( m 1 - m 2 ) m 2 + m 1 2 v i 1 1

c )

v f 3 ( 2 ) = v i 2 ( 2 ) = v f 2 ( 1 ) .     L o g o ,   é   c o m o   s e   a   b o l a   2   n ã o   e x i s t i s s e

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