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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 44

Forneça os detalhes dos cálculos de α e de β do Exemplo 8.13 (Seção 8.4).

Passo 1

Então galera, essa questão se trata de uma questão bem mais voltada pra matemática do que pra física propriamente dita, ok? Se formos lá na seção 8.4, como o enunciado indica, encontraremos duas expressões, olha só:

0,500   k g . 4,0 m s = 0,500   k g . 2,0 m s . cos ⁡ α + 0,300   k g . 4,47 m s . ( cos ⁡ β )

( E q .   1 )

0 = 0,500   k g . 2,0 m s . s e n   α - 0,300   k g . 4,47 m s . s e n   β

( E q .   2 )

Passo 2

O que a questão quer é que descubramos como o exercício chegou nos valores de   α   e β . Se olharmos as duas expressões, para simplificarmos essas duas equações, podemos dividi-las por 0,500   k g . ( 1,0 m s ) , certo? Se fizermos isso, se liga como as equações ficarão:

4 = 2 . cos ⁡ α + 0,6 . 20 . cos ⁡ β

( E q .   3 )

0 = 2 . s e n   α - 0,6 20 . s e n   β

( E q .   4 )

Passo 3

Agora que simplificamos o mááááximo possível as expressões 1 e 2 , vamos isolar as funções de β das equações 3 e 4 , ok? Se fizermos isso, teremos:

cos ⁡ β = 4 - 2 . cos ⁡ α 0,6 . 20 ⇒ c o s 2 β = 2,222 - 2,222 . cos ⁡ α + 0,5556 . c o s 2 α

s e n   β = 2 . s e n   α 0,6 . 20   ⇒ s e n 2 β = 0,5556 . s e n 2 α = 0,5556 - 0,5556 . c o s 2 α

Ok, mas por que elevamos as funções ao quadrado? Fizemos isso para que possamos utilizar a expressão lá da trigonometria:

s e n 2 a + c o s 2 b = 1

Substituindo os valores que temos, teremos:

c o s 2 β + s e n 2 β = 1

2,222 - 2,222 . cos ⁡ α + 0,5556 . c o s 2 α + 0,5556 - 0,5556 . c o s 2 α = 1

Simplificando, teremos:

- 2,222 . cos ⁡ α = 1 - 2,7776

∴ cos ⁡ α = 0,8 ⇒ α ≅ 36,9 °  

Utilizando a equação:

s e n   β = 2 . s e n   α 0,6 . 20  

Temos que:

s e n   β = 0,7454 . s e n   36,9 °

∴ β ≅ 26,6 °

Que realmente são os valores encontrados no exemplo 8.13 da seção 8.4.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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