Uma partícula de massa m se move através de um potencial U ( x ) = A x , onde A é uma constante positiva. Em uma descrição simplificada, os quarks partículas constituintes dos prótons, nêutrons e outras partículas, conforme veremos no Capítulo 44) possuem uma energia potencial cuja intenção é dada aproximadamente por essa função, onde x representa a distância entre dois quarks. Como U x → ∞ quando x → ∞ , não é possível separar completamente dois quarks (um fenômeno chamado de confinamento de quarks). (a) Classicamente, qual é a força que atua sobre essa partícula em função de x ? (b) Usando o princípio da incerteza do modo mencionado no problema 39,60, determine aproximadamente a energia do ponto zero da partícula.

Passo 1

letra a)

Podemos calcular a força em relação a energia potencial usando a relação:

F = - d U d x

F = - d A x d x

Como A é uma constante positiva, pode sair do módulo e sair da derivada. Temos então:

F = - A d x d x

Como a derivada dessa função não está definida em x = 0 , iremos avaliar as regiões x > 0   e x < 0 .

Passo 2

Para x > 0 :

x = x então a força será:

F = - A d x d x

F = - A

Passo 3

Para x < 0 :

x = - x então a força será:

F = - A d - x d x

F = A

Passo 4

Podemos escrever a força como sendo:

F = - A x x

Passo 5

letra b)

A energia pode ser escrita como sendo:

E = p 2 2 m + A x

Usando a relação de incerteza:

E = h / x 2 2 m + A x

Para x > 0 :

E = h / x 2 2 m + A x

Passo 6

Então o menor valor de energia será:

d E d x = 0

d d x h / x 2 2 m + A x = 0

- h 2 m x 3 + A = 0

h 2 m x 3 = A

x 3 = h 2 m A

x = h 2 m A 1 / 3

Passo 7

A energia então será:

E = h 2 2 m h 2 m A - 2 / 3 + A h 2 m A 1 / 3

E = 1 2 h 2 A 2 m 1 / 3 + h 2 A 2 m 1 / 3

E = 3 2 h 2 A 2 m 1 / 3

Resposta

letra a) F = - A x x

letra b) E = 3 2 h 2 A 2 m 1 / 3

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