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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 68

Considere o pacote de onda definido por

ψ x = ∫ 0 ∞ B k c o s k x   d k

Seja B ( k ) = e - α 2 k 2 . (a) A função B ( k ) apresenta seu valor máximo em k = 0 . Considere k h o valor de k em que B ( k ) decaiu à metade de seu valor máximo, e defina a largura de B ( k )   como w k = k k . Em termos de α , quanto vale w k ? (b) Use tabelas de integrais para calcular a integral que fornece ψ ( x ) . E que valor de x a função ψ ( x ) atinge seu valor máximo? (c) Defina a largura de ψ x como w k = x h , onde x h é o valor positivo de x em que ψ x atinge um valor igual à metade de seu valor máximo. Calcule w x em que termos de α . (d) O momento linear p é igual a h k / 2 π , de modo que a largura de B em relação ao momento linear é w p = h w k / 2 π . Calcule o produto w p w x e compare o resultado com o princípio da incerteza de Heinsenberg.

Passo 1

letra a)

Temos que:

B ( 0 ) = B m a x = 1

Temos que B ( k h ) decaiu à metade de seu valor máximo, então:

B ( k h ) = 1 2 = e - α 2 k h 2

Isolando k h :

- α 2 k h 2 = l n 1 2

k h = 1 α l n ( 2 )

como w k = k k :

w k = 1 α l n ( 2 )

Passo 2

letra b)

Usando a tabela de integrais para calcular

ψ x = ∫ 0 ∞ e - α 2 k 2 c o s k x   d k

ψ x = π 2 α e - x 2 / 4 α 2

E por ser uma função decrescente, ψ x será máximo quando x = 0 .

Passo 3

letra c)

Como a função atinge a metade do seu valor máximo, temos que:

ψ x h = 1 2 π 2 α

Então:

e - x h 2 / 4 α 2 = 1 2

Isolando x h :

- x h 2 4 α 2 = l n 1 2

x h = 2 α l n ( 2 ) = w x

Passo 4

letra d)

Temos que:

w p w x = h w k 2 π 2 α l n ( 2 )

w p w x = h 2 π 1 α l n ( 2 ) 2 α l n ( 2 )

w p w x = h   l n ( 2 ) π

Resposta

letra a) w h = 1 α l n ( 2 )

letra b) ψ x será máximo quando x = 0 .

letra c) x h = 2 α l n ( 2 ) = w x

letra d) w p w x = h   l n ( 2 ) π

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