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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 21

21 – A eq. de Schrödinger para uma partícula num anel elíptico com semieixos a e b é separável?

Sugestão: A dependência entre r e ϕ é dada por:

r 2 = a 2 s e n 2 φ + b 2 co s 2 ⁡ φ

Passo 1

O anel elíptico é aquele no qual a partícula está confinada por um conjunto de pontos que obedecem uma certa relação matemática.

Vamos relembrar um pouco sobre geometria analítica.

Da geometria analítica, temos que a equação de uma elipse em coordenadas cartesianas segue a seguinte expressão:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 2

Vamos relembrar também da eq. que define um círculo que é:

x 2 + y 2 = r 2

Onde, r é o raio do círculo

Assim, por comparação você pode ver que a eq. de uma elipse é similar a eq. de um círculo.

Com isso, com uma mudança apropriada de variável pode transformar a elipse deste problema em um círculo. Essa mudança de variável pode ser feita da seguinte maneira, em termos de coordenadas cartesianas

X = x

Y = a y b

Assim, a eq. da elipse apresentada se torna:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

X 2 a 2 + X 2 a 2 = 1

Assim,

X 2 + Y 2 = a 2

Sendo que essa equação anterior é uma equação de um círculo com raio igual a ‘a’, centrada na origem

r = a

Passo 3

Para sabermos se a eq. de Schrödinger é separável precisamos encontrar as funções de onda e os valores de onda para uma partícula no anel circular pela transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas polares no plano (R, ϕ).

As coordenadas cartesianas e coordenadas polares se relacionam matematicamente da seguinte maneira:

X = R c o s φ

Y = R s e n φ

Pela eq. do círculo:

X 2 + Y 2 = a 2

Substituindo:

R 2 s e n 2 φ + R 2 co s 2 ⁡ φ = a 2

R 2 s e n 2 φ + co s 2 ⁡ φ = a 2

R 2 = a 2

R = a

Passo 4

Vamos relembrar da eq. de Schrödinger que é:

- ħ 2 2 m ∇ 2 ψ + V = E ψ

Para uma partícula confinada em movimento livre sobre a superfície de uma esfera, a energia potencial V é nula

V = 0

Assim,

- ħ 2 2 m ∇ 2 ψ = E ψ

O nível de energia então vai ser:

E = m I 2 ħ 2 I

Onde, I é o momento de inercia que é dado por:

I = m a 2

A função de onda é:

ψ = e i m I φ 2 π 0,5

Expressando em termos de coordenadas cartesianas

Y X = R s e n φ R c o s φ = s e n φ c o s φ = tan ⁡ φ

Assim,

φ = tan - 1 ⁡ Y X

Sendo,

X = x

Y = a y b

Logo,

φ = tan - 1 ⁡ a y b x

Resposta

E = m I 2 ħ 2 I

ψ = e i m I φ 2 π 0,5

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