Neste problema exploramos a ideia, introduzida no Impacto I9.2, de que é preciso considerar os efeitos quânticos na descrição das propriedades eletrônicas de nanocristais metálicos, modelados aqui como caixas tridimensionais. (a) Obtenha a equação de Schrödinger para uma partícula de massa m numa caixa 3D retangular de lado, , e . Mostre que a função de onda e a energia são definidas por três números quânticos. (b) Use o resultado da parte (a) para um elétron se movendo numa caixa cúbica de lado L = 5 nm e trace o diagrama de energia semelhante à Fig. 9.2 mostrando os 15 primeiros níveis de energia. Observe que cada nível de energia pode consistir em estados de energia degenerados. (c) Compare o diagrama de níveis da parte (b) com o diagrama de níveis de energia de uma caixa 1D de comprimento L = 5 nm. Os níveis de energia ficam mais ou menos esparsamente distribuídos na caixa cúbica do que na caixa unidimensional?

Vamos analisar tudo o que o exercício começa pra gente fazer. Então, na letra (a) vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger para uma caixa:

Assumindo que a solução é produto de três funções de uma variável simples, ou seja:

Substituindo na equação de Schrödinger temos que:

Vamos dividir os dois lados por XYZ, vamos ter:

Para ilustramos o que foi proposto, vamos isolar os termos que dependem de X do lado esquerdo da equação:

Portanto,

Note que isso é a equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa 1D. Note também que nós podemos então isolar os termos de y e z de forma similar, certo?