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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 8

Uma partícula move-se ao longo da direção x sob o efeito de uma força F x =   - k x + K x 2 , onde k = 200   N / m   e     K = 300   N / m 2 . a) Calcule a energia potencial U(x) da partícula, tomando U(0) = 0, e faça um gráfico de U(x) para -0,5m

Dado : ∫ 0 x x '   n d x ' = x n + 1 n + 1

Passo 1

  1. Bom galera, como sabemos que F x =   - d U x d x     →

    2. U x =   - ∫ f x d x

    =   - ∫ - k x + K x 2   d x

    =   - - k x 2 2 + K x 3 3 + C

    Vamos calcular U ( 0 )

    U 0 = C

    Mas o problema diz que U 0 = 0   → C = 0 . Então nossa função   U ( x ) se torna

                            U x = 100 x 2 - 100 x 3

    Nosso gráfico fica assim

    Passo 2

  2. As posições de equilíbrio são as posições em que a força resultante se torna 0, então vamos substituir na nossa fórmula de força e descobrir quais são os pontos do eixo x.

    3. F x = 0

    - 200 x +   300 x 2 = 0

    x 300 x - 200 = 0

    x = 0   o u   2 3

    No gráfico de potencial, para sair do ponto 0 existe uma barreira de potencial de ambos os lados, de modo que se a partícula se mover pra qualquer um deles sua tendência é voltar para o local de menor energia. Por isso 0 é um ponto de estabilidade. Já o ponto x = 2 3 representa um pico nesse gráfico, se a partícula for perturbada facilmente sai dessa posição para locais de menor energia potencial. Então x = 2 3     é um ponto de instabilidade

    Passo 3

  3. No gráfico de U(x) se uma partícula está em x > 2 3 m ela irá descrescer seu potencial indefinidamente, adquirindo mais e mais enrgia cinética. Para que um movimento oscilatório ocorra, a energia cinética e potencial precisam estar se revesando a cada ciclo, ou seja, a partícula estaria “subindo e descendo” no gráfico de potencial. Isso acontece se a partícula for perturbada para a esquerda quando estiver em x = 2 3 m .

    4. Nesse momento sua energia cinética é 0 e sua energia mecâncica total U 2 3 . Como queremos descobrir o ponto de retorno, sua velocidade terá que ser 0 novamente. Vamos buscar por U x = U 2 3

    U x = 100 2 3 2 - 100 2 3 3

    = 2 27 2 .   100

    =   14 ,   8   J

    Outro ponto que satisfaz esse valor à esquerda do gráfico é x = - 1 3   m

    Então nossa região de movimento oscilatório corresponde a - 1 3 < x < 2 3

    Já a energia mecância E = K m á x = U m á x   = 14,8   J

    Passo 4

  4. Após x = 2 3 a partícula acelera e antes de x =   - 1 3 a partícula desacelera.

Resposta

a )   U x = 100 x 2 - 100 x 3

b ) x = 0     e s t á v e l ,   x = 2 3   (   i n s t á v e l )

c ) - 1 3 < x   < 2 3 ,   E = 14,8   J

d )   x > 2 3     a c e l e r a ç ã o       x < - 1 3 (   d e s a c e l e r a ç ã o )

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